Список утверждений школьной математики.

[Sefko]

Приближается ЕГЭ. Настал момент, когда будущим сдавателям нужно не столько изучать, сколько приводить в порядок уже полученные знания, умения и навыки. И вот здесь-то и возникает некая непонятка, разъяснение которой я надеюсь получить на этом форуме.

Проблема мне видится в том, что сейчас у нас допускается не только использование разных школьных учебников, но и заметно разный объем знаний. В такой ситуации у экзаменуемого возникает проблема: какие известные ему утверждения он может использовать при решении задачи без доказательства, а какие все же надо доказывать?

Вероятно, где-то существует соответствующий список утверждений, который можно использовать без доказательства. Или иначе: мне кажется, что такой список обязан быть. Но вот мне не удалось его найти с полутыка. А он ведь должен быть доступен любому школьнику. И, разумеется, любому учителю. Потому что…

Потому что должна быть четкая граница. При ее отсутствии может получиться, например, такая ситуация.
Школьник из обычной школы, не зная заранее о справедливости некоего утверждения, будет пытаться его доказывать, как часть решения задачи. Докажет, но! Во-первых, у него это займет дополнительное время. Во-вторых, доказательство может содержать некие неточности. И то, и другое влечет снижение балла.
Школьник из крутой физмат школы просто помнит это утверждение, хотя доказать его не может – никак: ни с недочетами, ни без оных. Потому как слабак, хоть и учился в крутой школе. Но у него никаких проблем: на доказательство он время не тратит, и никаких недочетов у него как бы нет.

Разумеется, какие-то списки в Интернете я нашел. С полутыка. Главный их дефект – они не производят впечатления официально утвержденных нормативных документов, которыми обязаны руководствоваться все, причастные к ЕГЭ. А где официальный?

Надеюсь, постановка вопроса понятна и без конкретных примеров утверждений. Но если, все же, таковые потребуются, то приведу.

Вполне допускаю, что никакой проблемы на самом деле нет, а просто я – человек далекий от преподавания школьной математики – не осведомлен о том, о чем знают все причастные к преподаванию в школе. Если случай именно такой, то заранее прошу меня извинить.
______________________________________________________
P.S. Не знал, куда правильнее поместить свой вопрос – потому поместил здесь. Надеюсь на помощь модераторов: если уместнее в другом разделе, то переместят; если этой теме вообще не место на этом форуме, то удалят.
P.P.S. Вообще-то, этот же вопрос относится и ко всяческим олимпиадам, победители которых получают автоматически 100 баллов по ЕГЭ. Но олимпиады – это, все же, другая больная мозоль.

[Oleg Zubelevich]

Sefko в сообщении #541668 писал(а):

Проблема мне видится в том, что сейчас у нас допускается не только использование разных школьных учебников, но и заметно разный объем знаний.

ну, про объем знаний -- это просто не соответствует действительности. Есть образовательный стандарт. ЕГЭ ему отвечает.

-- Ср фев 22, 2012 20:36:33 --

Sefko в сообщении #541668 писал(а):

Потому что должна быть четкая граница. При ее отсутствии может получиться, например, такая ситуация.
Школьник из обычной школы, не зная заранее о справедливости некоего утверждения, будет пытаться его доказывать, как часть решения задачи. Докажет, но! Во-первых, у него это займет дополнительное время. Во-вторых, доказательство может содержать некие неточности. И то, и другое влечет снижение балла.
Школьник из крутой физмат школы просто помнит это утверждение, хотя доказать его не может – никак: ни с недочетами, ни без оных. Потому как слабак, хоть и учился в крутой школе. Но у него никаких проблем: на доказательство он время не тратит, и никаких недочетов у него как бы нет.

А ну понятно Да, у ребенка из физ-мат школы больше шансов отлично сдать ЕГЭ, чем у ребенка из обычной школы. А ребенку из обычной школы легче сдать егэ, чем ребенку из обычной школы, который нюхает клей. Такова жизнь.

[Sefko]

Oleg Zubelevich в сообщении #541684 писал(а):

А ну понятно Да, у ребенка из физ-мат школы больше шансов отлично сдать ЕГЭ, чем у ребенка из обычной школы. А ребенку из обычной школы легче сдать егэ, чем ребенку из обычной школы, который нюхает клей. Такова жизнь.

Боюсь, что непонятно. Совсем. Полагаю, что это из-за неотчетливости моего изложения. Попробую пояснить на примере. Задачка не из ЕГЭ, а из какой-то олимпиады. Но, думаю, для пояснения это не важно.
Задача. На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$, а на другой стороне - точка $C$. При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA = 1$, $OB = 5$?

Построим окружность, которая содержит точки $A$ и $B$, и касается прямой $OC$. Обозначим точку касания $D$. Для решения задачи используется тот факт, что $OA\cdot OB=OD^2.$

Факт доказывается в две-три строчки. Даже если он не входит в образовательный стандарт, то толковый школьник «увидит» его почти сразу из чертежа. Так мне кажется. А если так, то не включение этого факта в образовательный стандарт, думаю, не должно быть препятствием для включения задач, на него опирающихся, в часть С. Речь вовсе не о том, что ученик из крутой школы сможет быстро решить какую-то задачу, а из простой – не сможет, или сможет, потратив много времени. Эта проблема тоже имеет место, но это – другая проблема. Я же имею в виду проблему оформления решения.

Если факт не входит в образовательный стандарт, то ученик обязан привести его доказательство. Мало ли какие задачки они там решали в крутой школе? Ведь они могли на уроке рассмотреть и конкретно эту самую задачу. Вот такую теорему о положении точки С, при котором достигается максимум угла ACB. И что? Позволительно вместо решения задачи привести готовый ответ? Нельзя? А вот этот самый факт можно привести без доказательства? Где граница?

Я специально взял пример, когда ученик крутой школы может оказаться в худшем положении. Ученик обычной школы знает только то, что положено знать. Даже если он знает заметно больше, то эти дополнительные знания он получил не на уроке, и уже поэтому знает, что в образовательный стандарт они не входят.

Казалось бы – а что мешает заглянуть в этот самый образовательный стандарт?
Ничто не мешает. Заглядываем и видим:
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд.

Ну и? Входит это самое метрическое отношение, которое нужно для решения задачи, в образовательный стандарт? Мне ответ совсем не очевиден. А то обстоятельство, что не упомянут угол между хордой и касательной (а именно величина этого угла используется для доказательства обсуждаемого утверждения), совсем как-то смущает.

[kefi]

Sefko
Мне кажется нужно исходить из того, что в смущающих моментах даже если ты поступишь правильно, неправильность может быть заложена в проверке твоего результата - т.е. при проверке твой результат будет истолкован иначе, чем ты рассчитывал. И , причем, за все случаи никогда нельзя поручиться. Поэтому лучше надежно доказывать в таких случаях на основании того, в чем уверен, что ты понимаешь предмет также, как и проверка. Тут есть и положительный момент - если ты не уверен в решении задачи, то доказательство поможет быть уверенным, хотя ... - с другой стороны и отнимет время - т.е. выбирай компромиссную тактику.

IMHO: И еще другой подход возможен - если ты в процессе решения ссылаешься на известную тебе и ОБЩЕизвестную в науке теорему,лемму etc ( какая-нибудь Лемма Чебышева ) и показываешь то, что ты ее знаешь - формулируешь ее, то даже если ты сомневаешься в том, что ее изучали в школах вообще, то можно ее использовать без ее доказательства.

[Профессор Снэйп]

Oleg Zubelevich в сообщении #541684 писал(а):

А ребенку из обычной школы легче сдать егэ, чем ребенку из обычной школы, который нюхает клей.

Нынешний клей бесполезно нюхать, из него те самые вещества давно убрали

[svv]

То-то я нюхаю-нюхаю -- никакого эффекта.

[Sefko]

kefi в сообщении #556011 писал(а):

Sefko
Мне кажется нужно исходить из того, что в смущающих моментах даже если ты поступишь правильно, неправильность может быть заложена в проверке твоего результата - т.е. при проверке твой результат будет истолкован иначе, чем ты рассчитывал. И , причем, за все случаи никогда нельзя поручиться. Поэтому лучше надежно доказывать в таких случаях на основании того, в чем уверен, что ты понимаешь предмет также, как и проверка.

Не проходит! По нескольким причинам.
Одну немаловажную причину Вы указали: увеличивается время оформления решения. Связанная с ней - в доказательстве, которое не требуется, можно допустить ошибку. Более того - его можно забыть. И в стрессовой ситуации не вспомнить. Можно перечислять, наверное и далее, но не это важно.

Дело в том, что лично мне сдавать ЕГЭ не нужно. Мне нужно помочь подготовиться к ЕГЭ другому человеку. Совет - обратиться к тем, кто этим занимается как бы профессионально - мимо кассы. Буквально. Мимо кассы пройти не удалось. А подготовка оказалась именно "как бы", хотя человек пошел (и продолжает ходить) на официальные курсы в престижном заведении. Обсуждать дефекты этих курсов я здесь не буду.

Так вот, свою помощь я решил построить на некой концепции.
Ее суть: не сильно морочить голову доказательствами теорем, которые считаются известными. Доказательства их приводить исключительно как примеры оформления доказательств, не требуя запоминания этого доказательства. Надежда именно на то, что на экзамене его приводить не придется (в отличие от устного экзамена, который был кое-где раньше - до ЕГЭ).
То есть: вначале составляем список опорных теорем, которые потом используем при решении задачек. Задачки собираем в блоки, которые опираются на одну, две, три опорные теоремы. Как-то так.

Вот на списке я и споткнулся. Где его взять?
Можно было бы при составлении списка пойти обратным ходом - от задач. Но и здесь случился облом.

Есть прорва всяких разных задач с решениями. Олимпиадных. Это слишком круто: и времени нет, да и не нужно.
А примеров задач из ЕГЭ (доступные вроде все скачал) слишком мало. А выковыривать из олимпиадных задач то, что по уровню соответствует ЕГЭ... По какому принципу?

Можно было бы ориентироваться на учебник. Какой?
Например, учебник по планиметрии, подготовленный МГУ, явно не годится для человека, мечтающего получить по математике чуть больше 80 баллов - слишком много. Тот учебник, который они в школе используют - слишком мало.
Нашел в интернете очень приличный учебник по физике, но там нет решения задач.

Я ожидал, что, несмотря на все многообразие разрешенных учебников, существует некий опорный курс с задачами, который необходим и достаточен для успешной сдачи экзамена. Но вот найти пока не получилось.

[vicvolf]

Sefko в сообщении #556369 писал(а):

Я ожидал, что, несмотря на все многообразие разрешенных учебников, существует некий опорный курс с задачами, который необходим и достаточен для успешной сдачи экзамена. Но вот найти пока не получилось.

Мне кажется, что Вы усложняете. Возьмите любое пособие по подготовке к ЕГЭ, например Сканави.

[Sefko]

vicvolf в сообщении #556528 писал(а):

Мне кажется, что Вы усложняете. Возьмите любое пособие по подготовке к ЕГЭ, например Сканави.

Вполне может быть и так, что Вам вовсе не кажется, а все так и есть на самом деле.

Видите ли, я всегда считал, а теперь еще и получил весомое подтверждение, что репетиторство - это специфический вид деятельности, который требует специальной подготовки репетитора. Более чем недостаточно самому уметь решать всякие задачи. Именно поэтому, я не стал влезать в этот процесс вначале - мы просто собрали деньги и заплатили. И вот уже практически в конце пути выяснилось, что взявшие деньги репетиторы, репетиторами не являются (хотя сам предмет они, безусловно, знают). Вот и мечусь туда-сюда: ведь я даже не знаю, где какие пособия есть.

За совет большое спасибо. Постараюсь книгу найти.

[vicvolf]

Sefko в сообщении #556678 писал(а):

И вот уже практически в конце пути выяснилось, что взявшие деньги репетиторы, репетиторами не являются (хотя сам предмет они, безусловно, знают).

Репетиторов лучше брать с рекомендацией.