Ряды, с какой стороны подлезть?

[Human]

egor.onuchin в сообщении #556292 писал(а):

$\frac{1}{8\cdot{n^4}}\cdot(1-\frac{1}{6\cdot{n^2}}+\cdots-\frac{1}{3}+\cdots)$

Отлично. Я бы посоветовал Вам выписать ещё один член в разложении косинуса, чтобы лучше понять, что из себя эта сумма представляет, ну да ладно.
Что дальше? Можете как-нибудь оценить то, что стоит в скобках?

[egor.onuchin]

$\frac{1}{8\cdot{n^4}}\cdot(1-\frac{1}{6\cdot{n^2}}+\cdots-\frac{1}{3}-\frac{1}{n^2\cdot90}+\cdots)$
А дальше я что-то не понимаю что делать.

[ИСН]

А там что делали?

[egor.onuchin]

У меня нет мыслей как оценить то что находится в скобках...

[Human]

Ок, я Вам помогу. Согласны ли Вы, что то, что стоит в скобках, равно:

$$\frac23+\varepsilon(n)$$

причем $\lim\limits_{n\to\infty}\varepsilon(n)=0$ ?

[egor.onuchin]

Не согласен, пока не пойму почему...

[Human]

egor.onuchin в сообщении #556307 писал(а):

Не согласен, пока не пойму почему...

В сумме, стоящей в скобках, есть только два члена, не зависящие от $n$: это $1$ и $-\frac13$. Их сумма и даёт $\frac23$. Все остальные члены имеют вид $\frac C{n^{2k}}$, и потому каждый из них стремится к нулю при $n\to\infty$. Их все я и внес под $\varepsilon(n)$.
Теперь ясно?

[egor.onuchin]

Теперь ясно, значит ряд внутри скобок стремится к $\frac{2}{3}$
за скобками ряд сходится, значит и все вместе сходится, т.к. $\frac{2}{3}$ - константа

[Human]

egor.onuchin в сообщении #556311 писал(а):

Теперь ясно, значит ряд внутри скобок стремится к $\frac{2}{3}$
за скобками ряд сходится, значит и все вместе сходится, т.к. $\frac{2}{3}$ - константа

Нету никаких рядов, мы сейчас рассматриваем только общий член ряда. Не спешите с выводами.
Итак, $e^{-\frac{1}{2\cdot n^2}}-\cos{\frac{1}{n}}=\frac1{12n^4}(1+\frac32\varepsilon(n))$
Отсюда следует, что $e^{-\frac{1}{2\cdot n^2}}-\cos{\frac{1}{n}}\sim\frac1{12n^4}$
а уже отсюда, из сходимости ряда с общим членом $\frac1{12n^4}$, по предельному признаку сравнения заключаем, что и исходный ряд сходится.

[egor.onuchin]

Супер! Побыстрее бы всему этому научиться!!!

-- Ср апр 04, 2012 22:20:53 --

Human
А Вы из Москвы?

[Human]

На самом деле тут все делается точно так же, как с вычислением пределов с помощью разложения в ряды Тейлора, а это Вы уже должны уметь.

И кстати, в последнем примере не очевидно, что все члены ряда положительны, а для применения предельного признака сравнения это необходимо. Но от этой проблемы легко откреститься: так как $\lim\limits_{n\to\infty}\varepsilon(n)=0$, то найдётся номер $N$, начиная с которого $|\varepsilon(n)|<\frac13$. Тогда $\frac23+\varepsilon(n)>\frac13>0$ , и значит начиная с этого $N$ все члены ряда положительны. Теперь остаётся только разбить исходный ряд на две части: сумму до $N$ (а она конечна) и после $N$, и применить признак сравнения к последней части.

Я сейчас учусь в Москве (да, я тоже ТС ).

[egor.onuchin]

Смотри личку.