Ряды, с какой стороны подлезть?

[ИСН]

А кто ж мешает? Это ведь и правда то же самое.

[egor.onuchin]

$\sum_{n=1}\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}\cdot(1+\frac{\sqrt[3]{n}+2}{(n^2+3)\cdot2!}+\frac{(\sqrt[3]{n}+2)^2}{(n^2+3)^2\cdot3!}+\cdots)$
Тут не похоже

[Dan B-Yallay]

А Вы оцените выражен е в скобках какнить хитро и вытащите его за знак суммы

-- Ср апр 04, 2012 08:34:03 --

Кстати, никакого пааметра тут уже не видно. Вам только сходимость-расходимость определить нужно?

[Human]

Может проще признаком сравнения в предельной форме воспользоваться?

[egor.onuchin]

Dan B-Yallay в сообщении #556161 писал(а):

А Вы оцените выражен е в скобках какнить хитро и вытащите его за знак суммы

-- Ср апр 04, 2012 08:34:03 --

Кстати, никакого пааметра тут уже не видно. Вам только сходимость-расходимость определить нужно?

Да, только сходимость-расходимость.

Human в сообщении #556163 писал(а):

роще признаком сравнения в предельной форме воспользоваться?

Это как?

[Human]

Вики
С его помощью действительно бывает проще судить о сходимости некоторых рядов, и не надо возиться с неравенствами.
Например для данного ряда:

$$e^{\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}}-1\sim\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}\sim\frac1{n^{\frac53}}$$

а ряд с последним общим членом сходится.

[egor.onuchin]

А можно подробнее? Я не понял почему знаки экв. стоят, и как последняя дробь получилась.

[Dan B-Yallay]

Human в сообщении #556166 писал(а):

Вики
С его помощью действительно бывает проще судить о сходимости некоторых рядов, и не надо возиться с неравенствами.
Например для данного ряда:

$$e^{\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}}-1\sim\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}\sim\frac1{n^{\frac53}}$$

а ряд с последним общим членом сходится.

Первое $\sim$ и есть разложение в ряд с оценкой (в неявном виде). IMHO

[Human]

(Оффтоп)

Ну почему никто не знает про предельную форму признака сравнения...

Знаки эквивалентности здесь означают, что если одно выражение поделить на другое и перейти к пределу при $n\to\infty$, то получится единица.

-- 04.04.2012, 18:01 --

Dan B-Yallay в сообщении #556171 писал(а):

Первое $\sim$ и есть разложение в ряд с оценкой (в неявном виде). IMHO

Почему с оценкой, и что значит "в неявном виде"? Я просто беру предел. Но про разложение в ряд Вы правы.

[egor.onuchin]

Human в сообщении #556172 писал(а):

Знаки эквивалентности здесь означают, что если одно выражение поделить на другое и перейти к пределу при , то получится единица.

А более простого способа нету?

[Human]

egor.onuchin в сообщении #556176 писал(а):

А более простого способа нету?

А куда проще?
Хотя... Наверное, это мне проще, потому что я привык работать с эквивалентностями. Просто Вы уже третий человек, которого я встретил на форуме и который не знал про существование предельной формы.

(Оффтоп)

Ну так же правда проще

[egor.onuchin]

Human в сообщении #556179 писал(а):

Ну так же правда проще

А где про это прочитать можно?

[Human]

egor.onuchin в сообщении #556182 писал(а):

А где про это прочитать можно?

Да я думаю, это во многих учебниках по матану должно быть написано. Я, например, по Тер-Крикорову учился. В задачнике Кудрявцева должны быть и предельная форма, и примеры её применения. Ну а вообще, все строится на знании стандартных эквивалентностей и разложений в ряды Тейлора.

[Dan B-Yallay]

Human в сообщении #556172 писал(а):

Почему с оценкой, и что значит "в неявном виде"? Я просто беру предел.

Вот то, что Вы делаете:

$$\lim \dfrac {\Big(\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}+\frac{(\sqrt[3]{n}+2)^2}{(n^2+3)^2\cdot2!}+\frac{(\sqrt[3]{n}+2)^3}{(n^2+3)^3\cdot3!}+\cdots \Big)}{\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3} } =\lim 1+o(...) =1$$

Я предлагаю не возиться и прибить эту о-малую более грубо:

$$ \Big(\frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3}+\frac{(\sqrt[3]{n}+2)^2}{(n^2+3)^2\cdot2!}+\frac{(\sqrt[3]{n}+2)^3}{(n^2+3)^3\cdot3!}+\cdots \Big) < \frac{\sqrt[3]{n}+2}{n^2+3} e$$

-- Ср апр 04, 2012 09:30:03 --

Насчет простоты - я полностью с Вами согласен.

[egor.onuchin]

Наверное, я перестал понимать что к чему.

Dan B-Yallay в сообщении #556189 писал(а):

Я предлагаю не возиться и прибить эту о-малую более грубо:

Тут мы сравниваем наше получившееся разложение с данным произведением, оно меньше, значит сходится. Так?