автоморфизмы циклической группы порядка 8

[tavrik]

1) доказать что подгруппа автоморфизмов циклической группы 8 порядка - не циклична.
каков её порядок?

автоморфизм это изоморфизм на себя - то есть, практически, перестановка?
тогда порядок должен быть 8! - включая тождественное преобразование?
какая же это подгруппа если в ней столько элементов? или я её неправильно назвал - это группа автоморфзимов?


для доказательства не-цикличности надо как-то использовать элемент $a$, который порождает группу?

2) чему будет равна подгруппа автоморфизмов бесконечной циклической группы?
не ясно.

[PAV]

Автоморфизм группы должен сохранять групповую операцию. Не любая биекция группы на себя как множества является автоморфизмом.

Например, единичный элемент может перейти только сам в себя.

Как в общем виде наиболее просто задать автоморфизм циклической группы?

[tavrik]

точно. это же не просто перестановка.

наверное, сдвинуть все на один шаг?

в смысле $a_n$-->$a_{n+1}$

-- Ср апр 04, 2012 12:02:29 --

сори, тут единичный не переходит.
сейчас

-- Ср апр 04, 2012 12:22:32 --

покопался
задать автоморфизм в $Z_8$ можно только только 3 способами(пусть $x$ будет порождающим элементом):
$x$-->$x^3$
$x$-->$x^5$
$x$-->$x^7$

-- Ср апр 04, 2012 12:28:35 --

ну и тождественное преобразование.
то есть всего получается $\varphi(8) = 4$
теперь надо лишь показать, что она изоморфна группе Кляйна а не $Z_4$

-- Ср апр 04, 2012 12:38:18 --

ну то, что ни один из них не является порождающим элементом - легко проверить вручную.

а что с делать бесконечной циклической группой?

[Профессор Снэйп]

tavrik в сообщении #556013 писал(а):

покопался
задать автоморфизм в $Z_8$ можно только только 3 способами(пусть $x$ будет порождающим элементом):
$x$-->$x^3$
$x$-->$x^5$
$x$-->$x^7$

Не тремя, а четырьмя. Тождественный автоморфизм упустили из виду