integer pairs(x,y)

[man111]

find all integers $(x,y)$ in $2^{x^2-y}=y^2-x$

[temp03]

$x$ - не может быть простым числом. Поэтому $x=x_1x_2$. Далее должно быть разрешимо в целых числах некоторое уравнение $2x_1^2(x_1-2^k)^2-2x_1+4=4k-2^k$, что требует $k\leq4$. Далее перебираем по очереди $k=1,2,3,4$. Убеждаемся, что ни одно не подходит.
решений нет

[Shadow]

Кроме может быть $(0,-2);(0,-4)$
Наверное перебирали невнимательно, т.к если в ваше уравнение принять $x_1=0$, то уравнение $4=4k-2^k$ имеет два корня $k_1=2, k_2=3$
Или искали только натуральные.

[temp03]

Да, старая чекистская привычка работать с натуральными подвела

[Simba]

1)$x\geq y$, then $x^2-y<2^{x^2-y}=y^2-x\leq x^2-y$.
2)$ x^2>y>x$ then $x^2-y>0$, hence $2|x-y$
a)$x>0$, $x=(y-2^{\frac{x^2-y}{2}})(y+2^{\frac{x^2-y}{2}})$, then $y-2^{\frac{x^2-y}{2}} \geq 1, y+2^{\frac{x^2-y}{2}}>2y>x$
b)$x<0$, $-x=(2^{\frac{x^2-y}{2}}-y)(2^{\frac{x^2-y}{2}}+y)$, then $2^{\frac{x^2-y}{2}}-y\geq 1, y+2^{\frac{x^2-y}{2}}>2y>x$
c)$x=0$, then $2^{y_1}=y_1^2, y_1=-y>0$, easy to see that the solutions are $y_1=2, y_1=4$

$(0, -2), (0, -4)$

[man111]

Thanks to all Friends .Got it