Ряды, с какой стороны подлезть?

[egor.onuchin]

Как такую шляпу определить на сходимость? Я уже все перепробовал, хоть идейку подкиньте.
$\sum_{n=1} (\exp(1/n)-1-1/n)^a$

[Dan B-Yallay]

идея - разложить ехр(1/n) в ряд

[egor.onuchin]

$(2!/n^2+3!/n^3+...+o(1/n^N))^a$
Я подозреваю, что он сходится при любом параметре, т.к. предел от $x!/n^x$ при n стремящемся к бесконечности дает 0. Так?

[Профессор Снэйп]

egor.onuchin в сообщении #555814 писал(а):

подозреваю, что он сходится при любом параметре...

$a = 0$?

[Sergey from Sydney]

egor.onuchin писал(а):

$(2!/n^2+3!/n^3+...+o(1/n^N))^a$
Я подозреваю, что он сходится при любом параметре, т.к. предел от $x!/n^x$ при n стремящемся к бесконечности дает 0. Так?

А что такое у вас $x$ и $N$? И разложение ваше я как-то не понял: откуда там факториалы в числителе?

[Dan B-Yallay]

Я предлагаю не подозревать а доказывать. Презумпцию невиновности еще не отменяли.
Экспоненту Вы разложили неверно и поэтому получили неправильный остаточный ряд.
Есть идея все-таки сделать все правильно и вытащить какой-нить общий множитель.
Дальше подсказывать пока нет смысла.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay в сообщении #555839 писал(а):

Экспоненту Вы разложили неверно...

Ага, есть такое дело. Я даже как-то сразу и не заметил

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots $$

Теперь надо подставить сюда $x = 1/n$. Получим что?

[egor.onuchin]

Все проспал) Сейчас пересчитаем.

[egor.onuchin]

$$ e^\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2\cdot2!} + \frac{1}{n^3\cdot 3!} + \frac{1}{n^4\cdot 4!} + \ldots $$

потом вычитаем что надо:

$$ 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2\cdot2!} + \frac{1}{n^3\cdot 3!} + \frac{1}{n^4\cdot 4!} + \ldots - 1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2\cdot2!} + \frac{1}{n^3\cdot 3!} + \frac{1}{n^4\cdot 4!} + \ldots $$

Тогда:
при $\alpha=0$ не сходится
при $\alpha<0$ не сходится
при $\alpha>0$ сходится

Я вообще правильно рассуждаю?

[ИСН]

Стоящие рядом фразы "не сходится" и "предел есть" вызывают у меня когнитивный диссонанс.

-- Ср, 2012-04-04, 13:20 --

Или... Минуточку, это Вы про чей предел?

[egor.onuchin]

ИСН в сообщении #555990 писал(а):

Стоящие рядом фразы "не сходится" и "предел есть" вызывают у меня когнитивный диссонанс.

-- Ср, 2012-04-04, 13:20 --

Или... Минуточку, это Вы про чей предел?

Простите, просто стараюсь изо всех сил, но что-то трудновато.

[ИСН]

Чей предел. Предел чей. Предел.

-- Ср, 2012-04-04, 13:24 --

Чей?

[ewert]

egor.onuchin в сообщении #555988 писал(а):

Я вообще правильно рассуждаю?

Вообще неправильно. Из того, что предел ноль, сходимость не следует.

Кроме того, ряд Тейлора -- это была некоторая провокация. Нужны лишь три первых члена формулы Тейлора: $1+x+\frac12\cdot\frac x2<e^x<1+x+2\cdot\frac x2$ при всех достаточно малых $x$ (первое неравенство загрублено намеренно, просто чтоб не думать).

[egor.onuchin]

Переписываю ряд:
$ u_q = \frac{1}{n^2\cdot2!} + \frac{1}{n^3\cdot 3!} + \frac{1}{n^4\cdot 4!} + \ldots = \frac{1}{n^q\cdot{q!}} $
Проверяем по признаку Даламбера ($\lim\frac{u_q+1}{u_q}$)
$\frac{\frac{1}{n^{q+1}\cdot{(q+1)!}}}{\frac{1}{n^q\cdot{q!}}} = \frac{1}{n\cdot(q+1)} < 1$,
значит ряд внутри скобочек сходится.

[ewert]

egor.onuchin в сообщении #556014 писал(а):

значит ряд внутри скобочек сходится.

Вам нужен совсем не этот ряд.