Меры двух Марковских процессов на одном пространстве

[Gortaur]

Доброе время суток. Задача о которой я думаю в последнее время такая - если на одном и том же пространстве задано два Марковских ядра, которые достаточно близки друг к другу - верно ли что вероятности, порожденные этими функциями также близки на событиях на конечном временном промежутке также близки.

Более строго, пусть $(E,\mathscr E)$ - измеримое пространство и $(E^n,\mathscr E^n)$, где $\mathscr E^n$ это $\sigma$-алгебра произведения. Назовем $P$ стохастическим ядром $E$ если

$$ P:E\times\mathscr E\to [0,1] $$

таково, что $P(x,\cdot)$ - вероятностная мера на $(E,\mathscr E)$ дл всех $x\in E$ и $x\mapsto P(\cdot,A)$ - измеримая функция для любого множества $A\in \mathscr E$. В пространстве $b\mathscr E$ вещественнозначных измеримых и ограниченных функций с нормой $\|f\| = \sup\limits_{x\in E}|f(x)|$ введем оператор

$$ Pf(x) = \int\limits_E f(y)P(x,dy). $$

Его индуцированная норма дана $\|P\| = \sup\limits_{f\in b\mathscr E\setminus 0}\frac{\|Pf\|}{\|f\|}.$ Далее, для любого стохастического ядра $P$ мы можем ввести семейство вероятностных мер $(\mathsf P_x)_{x\in E}$ на $(E^n,\mathscr E^n)$ которое однозначно определяется своими значениями на измеримых прямоугольниках вида

$$ \mathsf P_x(A_0\times A_1\times \dots\times A_n) = 1_{A_0}(x)\int\limits_{A_n}\dots \int\limits_{A_1}P(x,dx_1)\dots P(x_{n-1},dx_n). $$

Пусть $\tilde P$ - другое ядро, которое в свою очередь определяет оператор на $b\mathscr E$ и семейство вероятностных мер $\tilde{\mathsf P}_x$ на $(E^n,\mathscr E^n)$. Можно ли найти верхнюю оценку на

$$ \sup\limits_{x\in E}\sup\limits_{F\in \mathscr E^n}|\tilde{\mathsf P}_x(F) - \mathsf P_x(F)|. $$

По индукции можно показать, что

$$ \sup\limits_{x\in E}|\tilde{\mathsf P}_x(A_0\times A_1\times \dots\times A_n)-\mathsf P_x(A_0\times A_1\times \dots\times A_n)|\leq n\cdot\|\tilde P - P\| $$

но я не уверен, что это верно для любого измеримого подмножества $\mathscr E^n$.

Буду рад любой помощи - возможно, факт известный, но мне он не встретился.