Прошу оценить сложность задач.

[ZARATUSTRA]

Можете оценить вот эти олимпиадные задачи по сложности? Дело в том, что в следующем году хочу попробовать себя на олимпиаде такого уровня, но не знаю, сумею ли подготовиться за лето до такого уровня. Как вы думаете? На задание смотреть с точки зрения знаний и способностей 11-классника.
P.S. Склонность к математике есть. Годовая оценка 10, что редкость, но дело в том, что с олимпиадными заданиями работал уже давно. Хочется знать, можно ли за лето подготовиться до такого уровня ученику обычной школы с годовой оценкой по математике 10. Спасибо.
1. Докажите, что если действительные числа $x, y, z$ удовлетворяют равенствам $x^2+y=y^2+z=z^2+x$, то $x^3+y^3+z^3=xy^2+yz^2+zx^2$.
2.Четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = BC$ и $AD=3DC$, вписан в окружность. На диагонали $BD$ отмечена точка $R$ так, что $DR = 2RB$, а на отрезке $AR$ отмечена точка $Q$ так, что $\angleADQ = \angle BDQ$. Оказалось, что $\angle ABQ+\angle CBD=\angle QBD. Пусть P - точка пересечения отрезка AB и прямой DQ . Найдите
$ \angle APD$.
3. Какое максимальное число плоскостей в пространстве можно выбрать так, чтобы нашлось 6 точек, удовлетворяющих следующим условиям:
а) на каждой из этих плоскостей находится не менее 4 из этих точек.
б) никакие из этих 4 точек не лежат на одной прямой.
4. Найдите хотя бы одно натуральное число $k$, для которого существуют такие натуральные числа $a, b, c,$, что:
$k^2+a^2 = (k+1)^2+b^2=(k+2)^2+c^2$.
5. Найдите все пары $(n;m)$ таких натуральных чисел $m \ge n \ge 3$, что в клетки таблицы $n$ x $m$ можно вписать какие-то числа ( в каждую клетку по одному числу) так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2х2 была отрицательной, а сумма чисел в каждом квадрате 3х3 была положительной?

[nnosipov]

ZARATUSTRA в сообщении #555504 писал(а):

4. Найдите хотя бы одно натуральное число $k$, для которого существуют такие натуральные числа $a, b, c,$, что:
$k^2+a^2 = (k+1)^2+b^2=(k+2)^2+c^2$.

Это задача чересчур прямолинейна: исключаем $k$, получаем уравнение на $a$, $b$, $c$, находим частное решение и т.д. Наименьшее возможное значение $k$, удовлетворяющее условию задачи, равно $31$ ($a=12$, $b=9$, $c=4$). Вот найти бесконечно много натуральных $k$, удовлетворяющих указанному условию, было бы интересней.

[alcoholist]

1. Очень простая

2. Непонятно, что такое

ZARATUSTRA в сообщении #555504 писал(а):

что $\angleADQ = \angle BDQ$

3. Разобрать три случая: никакие три точки не лежат на одной прямой; есть тройка точек, лежащих на одной прямой; есть две тройки точек, лежащих на одной прямой

4. Здесь достаточно соображений четности, минимальное $k=31$.

Все такие $k$ соответствуют треугольным числам, представимым как сумма двух квадратов

5. На первый взгляд надо попытаться построить такую таблицу 4х4... кажется, уже не выйдет

[ZARATUSTRA]

Мне решение не нужно. Мне нужно знать сложность)
За сколько реально к такого плана задачам подготовиться ?

[MrDindows]

ZARATUSTRA в сообщении #555598 писал(а):

Мне решение не нужно. Мне нужно знать сложность)
За сколько реально к такого плана задачам подготовиться ?

Тяжело конечно ответить на этот вопрос, ведь многое зависит от вас, ваших знаний, смекалки, стремлений. Про оценку вас следовало бы уточнить, это 10 по 12-бальной системе в Украине, или же по 10-бальной в Белоруссии? Ну и к тому же оценка во многом зависит от школы. И интересно было б узнать, как вы справляетесь с задачами повышенной сложности, со звёздочкой что ли)
11 класс - это не хорошо. Уж сильно много олимпиадных тем, ну и уровень ваших задач, видимо, областной , там то есть и очевидные задачки, а есть и довольно тяжёлые.
Следующий год - это хорошо. По сути у вас много времени, чтоб готовится.
По поводу подготовки, что бы я посоветовал вам, да и в принципе это вполне очевидно: брать некую олимпиадную тему. Читаем кратенько теорию (олимпиадной теории в принципе то много не бывает=), берём примеры решённых задач, разбираемся в них. Берём ещё задачи, пытаемся самостоятельно решить, и если не получается, смотрим решение. Чем больше задач, тем лучше. После этого уже можно будет брать конкретно задачи с прошедших олимпиад, пробовать их решить, и если встречаете незнакомую тему, возвращаетесь к ней.
Главный принцип в олимпиадных задач - это то, что у вас в большинстве случаев не будет конкретных алгоритмов решения задач. Каждая задача имеет свою изюминку, но чем больше задач вы прорешаете, тем легче вам будет найти ключ к решению новой задачи.
Ну и 3-е место занять в олимпиаде вполне реально (у нас по крайней мере).
*Это всё моё ИМХО=)

[ZARATUSTRA]

MrDindows в сообщении #555636 писал(а):

ZARATUSTRA в сообщении #555598 писал(а):

Мне решение не нужно. Мне нужно знать сложность)
За сколько реально к такого плана задачам подготовиться ?

Тяжело конечно ответить на этот вопрос, ведь многое зависит от вас, ваших знаний, смекалки, стремлений. Про оценку вас следовало бы уточнить, это 10 по 12-бальной системе в Украине, или же по 10-бальной в Белоруссии? Ну и к тому же оценка во многом зависит от школы. И интересно было б узнать, как вы справляетесь с задачами повышенной сложности, со звёздочкой что ли)
11 класс - это не хорошо. Уж сильно много олимпиадных тем, ну и уровень ваших задач, видимо, областной , там то есть и очевидные задачки, а есть и довольно тяжёлые.
Следующий год - это хорошо. По сути у вас много времени, чтоб готовится.
По поводу подготовки, что бы я посоветовал вам, да и в принципе это вполне очевидно: брать некую олимпиадную тему. Читаем кратенько теорию (олимпиадной теории в принципе то много не бывает=), берём примеры решённых задач, разбираемся в них. Берём ещё задачи, пытаемся самостоятельно решить, и если не получается, смотрим решение. Чем больше задач, тем лучше. После этого уже можно будет брать конкретно задачи с прошедших олимпиад, пробовать их решить, и если встречаете незнакомую тему, возвращаетесь к ней.
Главный принцип в олимпиадных задач - это то, что у вас в большинстве случаев не будет конкретных алгоритмов решения задач. Каждая задача имеет свою изюминку, но чем больше задач вы прорешаете, тем легче вам будет найти ключ к решению новой задачи.
Ну и 3-е место занять в олимпиаде вполне реально (у нас по крайней мере).
*Это всё моё ИМХО=)

Спасибо. 10 в Белоруссии. Со звёздочкой - стык олимпиадной и школьной - решаю, но вот чисто олимпиадные - сложновато, ибо олимпиадами занимался в 7-8 классах. Это задачи с республиканской олимпиады.

[temp03]

alcoholist в сообщении #555585 писал(а):

Все такие $k$ соответствуют треугольным числам, представимым как сумма двух квадратов

Не понял, это как $31$ представимо как сумма квадратов?

я делал не так. Для того чтобы некоторое число имело 3 различных разложения на суммы квадратов, т.е. $k^2+a^2 = (k+1)^2+b^2=(k+2)^2+c^2$, оно должно иметь как минимум 3 различных простых множителя. Берём минимальное $5\cdot13\cdot17$, получаем требуемое $k=31$. Но это решение скорее случайный подбор, чем решение.

nnosipov в сообщении #555574 писал(а):

Вот найти бесконечно много натуральных $k$, удовлетворяющих указанному условию, было бы интересней.

Ага! Кажется это сводится к нахождению таких сумм квадратов, что $(p^2+q^2)-(m^2+n^2)=2$. Минимальные $(3^2+1^2)-(2^2+2^2)=2$ соответствуют $k=31$.

[ZARATUSTRA]

ZARATUSTRA в сообщении #555669 писал(а):

MrDindows в сообщении #555636 писал(а):

ZARATUSTRA в сообщении #555598 писал(а):

Мне решение не нужно. Мне нужно знать сложность)
За сколько реально к такого плана задачам подготовиться ?

Тяжело конечно ответить на этот вопрос, ведь многое зависит от вас, ваших знаний, смекалки, стремлений. Про оценку вас следовало бы уточнить, это 10 по 12-бальной системе в Украине, или же по 10-бальной в Белоруссии? Ну и к тому же оценка во многом зависит от школы. И интересно было б узнать, как вы справляетесь с задачами повышенной сложности, со звёздочкой что ли)
11 класс - это не хорошо. Уж сильно много олимпиадных тем, ну и уровень ваших задач, видимо, областной , там то есть и очевидные задачки, а есть и довольно тяжёлые.
Следующий год - это хорошо. По сути у вас много времени, чтоб готовится.
По поводу подготовки, что бы я посоветовал вам, да и в принципе это вполне очевидно: брать некую олимпиадную тему. Читаем кратенько теорию (олимпиадной теории в принципе то много не бывает=), берём примеры решённых задач, разбираемся в них. Берём ещё задачи, пытаемся самостоятельно решить, и если не получается, смотрим решение. Чем больше задач, тем лучше. После этого уже можно будет брать конкретно задачи с прошедших олимпиад, пробовать их решить, и если встречаете незнакомую тему, возвращаетесь к ней.
Главный принцип в олимпиадных задач - это то, что у вас в большинстве случаев не будет конкретных алгоритмов решения задач. Каждая задача имеет свою изюминку, но чем больше задач вы прорешаете, тем легче вам будет найти ключ к решению новой задачи.
Ну и 3-е место занять в олимпиаде вполне реально (у нас по крайней мере).
*Это всё моё ИМХО=)

Спасибо. 10 в Белоруссии. Со звёздочкой - стык олимпиадной и школьной - решаю, но вот чисто олимпиадные - сложновато, ибо олимпиадами занимался в 7-8 классах. Это задачи с республиканской олимпиады.

Еще читаю квант и буду разибрать эту книжку - Как решают нестандартные задачи_Каннель-Белов, Ковальджи_МЦНМО, 2008, 4-е изд -96с.pdf

[alcoholist]

temp03 в сообщении #555723 писал(а):

Не понял, это как $31$ представимо как сумма квадратов?

а я этого и не говорил:) Я сказал "соответствует". Именно, если

$$ x^2+y^2=\frac{z(z+1)}{2},\quad x>y $$

то

$$ k=4(x^2-y^2)-1,\quad a=4x,\quad b=2z+1,\quad c=4y $$

и других наборов нет.

[temp03]

nnosipov в сообщении #555574 писал(а):

Вот найти бесконечно много натуральных $k$, удовлетворяющих указанному условию, было бы интересней.

Нашёл бесконечную серию решений: $k=4m^3-1$, $m>1$.
Или так:
$(4m^3-1)^2+(2m^2+2m)^2=(4m^3)^2+(2m^2+1)^2=(4m^3+1)^2+(2m^2-2m)^2$, $m>1$.

Гораздо сложнее доказать, что других решений нет.

[alcoholist]

temp03 в сообщении #555763 писал(а):

Нашёл бесконечную серию решений: $k=4m^3-1$, $m>1$.
Гораздо сложнее доказать, что других решений нет.

Решение $k=4\cdot 135-1=539$, $a=48$, $b=35$, $c=12$ не входит в эту серию

-- Ср апр 04, 2012 00:22:42 --

Взяв $x=(m^2+m)/2$, $y=(m^2-m)/2$ получим

alcoholist в сообщении #555734 писал(а):

$$ x^2+y^2=\frac{m^2(m^2+1)}{2},\quad x>y $$

,
откуда $k=4m^3-1$.

Но так не получить решения $k=539$, вытекающего из разложения

$$ 12^2+3^2=\frac{17\cdot 18}{2} $$

[temp03]

Да, действительно так. Все решения получаются из решения некоторого уравнения $p^2-q^2=m^2+1$. Моё решение охватывает лишь частный случай
$\begin{cases} p+q=m^2+1\\ p-q=1 \end{cases}$
Легко формализуется, достаточно лишь заметить, что $m$ чётно.
Но и невооружённым глазом видно что есть масса других решений. Только вот как их формализовать в виде параметризации...

P.S.
Ваш случай даёт $35^2-18^2=30^2+1$. Здесь нетривиальное разложение:
$\begin{cases} p+q=53\\ p-q=17 \end{cases}$
Но как его формализовать я не знаю. (числа $a,c$ получаются как $30\pm18$).

(Оффтоп)

Решением нашего уравнения будет:
$\begin{cases} b=p\\ a=m+q\\ c=m-q\\ k=\dfrac{(m+q)^2-p^2-1}{2} \end{cases}$

-- Ср апр 04, 2012 13:04:15 --

alcoholist в сообщении #555785 писал(а):

Но так не получить решения $k=539$, вытекающего из разложения

$$ 12^2+3^2=\frac{17\cdot 18}{2} $$

Мы с вами вокруг да около крутимся, а суть ухватить никак не можем.

[alcoholist]

temp03 в сообщении #555973 писал(а):

Все решения получаются из решения некоторого уравнения $p^2-q^2=m^2+1$

как?

[temp03]

ну я же написал как в оффтопе