Уравнение баланса

[В.О.]

Это, конечно, не физика, но иногда публикуется в физических журналах http://www.ped.fas.harvard.edu/people/f ... RevE06.pdf . Поэтому я решился поместить здесь.
Пусть есть очень большая группа людей. Эти люди могут заниматься $n$ видами деятельности (стратегии поведения). Пусть в момент времени $t$ доля людей, занятых $i$-й стратегией равна $x_i(t)$ так, что $\sum\limits_{j=1}^nx_i =1$ . $i$-я стратегия поведения приносит доход $F_i(x,t)$. Будем считать, что все в каждый момент времени знают доходы друг друга. В каждый момент люди могут менять свою стратегию на любую другую. При этом стараются выбирать ту стратегию, которая приносит больший доход. Пусть человек с $i$-й стратегией выбирает $j$-ю стратегию с вероятностью $\rho _{ij}$. Тогда в момент времени $t$ из $j$-й стратегии в $i$-ю стратегию в среднем переходит $x_j\rho _{j i}$ (в долях от целого). Уравнение баланса
$\dot x_i=\sum\limits_{j=1}^nx_j\rho _{j i}-x_i\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}$
Первое слагаемое в правой части это сумма всех втекающих в $i$-ю стратегию. Второе слагаемое это сумма всех вытекающих из $i$-й стратегии ( в том числе, и оставшихся в $i$-й стратегии). Все это можно найти на стр.346 здесь http://econtheory.org/ojs/index.php/te/ ... 10341/5736 или на стр.3 здесь http://www.ssc.wisc.edu/~whs/research/ded.pdf Вопрос заключается в том, что, на мой взгляд, сумма вероятностей вытекания во все стратегии (включая саму себя) должна быть равна 1.
$\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}=1$
Т.е. можно либо перейти в одну из других стратегий, либо остаться в предыдущей стратегии. Однако эта нормировка в уравнение не подставляется.
Далее в качестве $\rho_{i j}$ используются самые разные функции. В том числе и не удовлетворяющие условию нормировки. См.таблицу на стр.4
Например, функция $\rho _{ij}=x_j[F_j-F_i]_{+}$ Такие уравнения без нормировки вытекания используются в сотнях, а может и в тысячах статей. В чем тут дело? Можно ли считать это ошибкой?

[Munin]

Смотря, во что дальше эти уравнения баланса подставляются. Иногда наложение нормировки не влияет на качественную картину явления в других переменных, и удобнее до поры до времени о ней просто забыть. Например, у нас тут получается уравнение $\dot{x}_i=A_{ij}x_j,$ которое задаёт в пространстве $x_i$ какой-то "фазовый поток". О нём можно рассуждать стандартными методами, которые хороши для потока в объёме. А если наложить нормировку $\lVert x_i\rVert=\mathrm{const},$ то мы в этом пространстве высекаем сферу, и поток рассматриваем уже на сфере, что может завести нас в более сложные геометрические рассуждения и менее удобные образы. Проще этого не делать, а только в конце отбросить "лишние решения".

[В.О.]

Дальше эти уравнения пытаются просто решить. Причем, аналитических решений я не видел. Хотя, конечно, всех работ по теме даже не просмотрел. Но несколько десятков просмотрел внимательно. Интересуются там асимптотическим поведением решений на бесконечности. Единственный метод решения, который я видел - численное решение.

Насколько я понимаю, правильность нормировки $\sum\limits_{j=1}^n\rho_{i j}=1$ сомнений не вызвала. Т.е. формально уравнение баланса без нормировки ошибочно. Мне это кажется достаточно очевидным и элементарным. Но когда видешь сотни статей в солиднейших журналах, в которых решаются неправильно записанные уравнения, то поневоле усомнишься в адекватности своего понимания. Другое дело, что эта нормировка может не слишком влиять на решение. Но это нужно доказывать, исследовать и т.д. и т.п. Очень хотелось бы узнать, есть ли еще люди (имеющие опыт научной деятельности, связанной с подобными вещами), считающие, что без условия нормировки эти уравнения будут неверны? Или, все-таки, у меня что-то с головой?

Кстати, эту задачу, возможно, можно интерпретировать как переход частиц из одного состояния в другое с потенциалом $F_i(x,t)$ или что-то в этом роде.

[Munin]

Ну, в принципе я могу представить себе ситуацию, когда реально условие $\sum\rho=1$ и не выполняется: когда есть какие-то "утечки" в нерассматриваемые в рамках задачи другие состояния.

[type2b]

Посмотрите на размерность: $\rho_{ij}$ -- это плотность вероятности, а не вероятность. Поэтому она не может суммироваться в единицу. На самом деле, в сумме опущен член с $\rho_{ii}x^i$, т.к. он не входит в $\dot{x}_i$. Вы можете представлять себе, что автоматически $\rho_{ii}$ таково, что сумма вероятностей за малый промежуток времени равна единице. При этом при переходе к непрерывному пределу все недиагональные $\rho$ конечны, а $\rho_{ii}$ сингулярно.

[В.О.]

Точно. $\rho _{ij}$ это производные от вероятностей. И т.к. сумма вероятностей равна 1, то сумма производных равна 0. Т.е. функции $\rho _{ij}$ должны удовлетворять условию
$\sum\limits_{j=1}^n\rho _{ij}=0$
Но те функции, которые берутся в качестве $\rho _{ij}$ этому условию все равно не удовлетворяют. Так что вопрос не снят с повестки.

Вот более аккуратный вывод. Пусть $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ - вероятность перейти из $ i $-го в $ j $-е состояние за время $\Delta t $. Тогда $\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)=1$ и $\sum\limits_{j=1}^n\dot \Upsilon _{ij}(0)=0$, $\rho _{ij}=\dot \Upsilon _{ij}(0)$.
Уравнение баланса
$x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\Upsilon _{ji}(\Deltat)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)$
$\dot x_i=\sum\limits_{j=1}^nx_j\rho _{ji}$
Смысл всей этой затеи в том, что условие нормировки обязательно должно присутствовать в той или иной форме.

[type2b]

Нет, неверно.
Еще раз: пусть время разбито на фиксированные дискретные шаги $\Delta t$, и вероятность перейти из $i$ в $j$ за $\Delta t$ равна $\rho_{ij}\Delta t$. Тогда условие нормировки выглядит как $\rho_ii+\sum_{j\ne i} \rho_{ij} =1/\Delta t$, а уравнение есть $x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\left(\sum_{j\ne i} x_j\rho_{ji}-x_i\sum_{j\ne i}\rho_{ij}\right)\Delta t$, т.е. сумма всех входящих минус сумма выходящих. Обратите внимание, что $\rho_{ii}$ сюда не входит. Для уравнения нас интересуют только коэффициенты перехода, а $\rho_{ii}$ не нужно. Оно может быть найдено из условия нормировки, которое, соответственно, всегда выполняется.
Теперь берем предел $\Delta t\rightarrow 0$. При этом хотим, чтобы $\rho_{ij}$, $i\ne j$, были конечны в пределе, т.е. вероятность перейти за бесконечно малое время стремится к нулю. Соответственно, вероятность остаться там же за бесконечно малое время стремится к единице, и $\rho_{ii}\rightarrow 1/\Delta t$, т.е. сингулярно. Но, к счастью, оно нам в уравнении и не нужно.

[В.О.]

Если так нормировать, то можно получить отрицательные вероятности. Не пойдет.
Может быть, покажете ошибку в моем выводе?

[type2b]

нет, отрицательные получить так нельзя. Почему -- вы можете понять сами, если внимательно разберетесь с тем, что я написал.
В вашем выводе неверно то, что вы берете производную. Поскольку время уже дискретизовано, то надо не дифференцировать, а делить на $\Delta t$ и брать предел. И плотности вероятности не суммируются в ноль, отнюдь.
Еще раз: $\rho_{ii}=1/\Delta t-\sum_{j\ne i}\rho_{ij}\rightarrow +\infty\,.$

[В.О.]

Я именно делю на $\Delta t$ и беру предел $\rho _{ij}=\lim \frac 1{\Delta t}\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ если $i\ne j$ , $\rho _{ii}=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1)$. Та 1 из-за которой у вас получается $\infty $ уходит для вычисления производной $\rho _{ii}$ Нужно расписывать подробно?
Еще есть ошибки?
Если с этим все в порядке, то дальше можно не читать.

Если в некоторый момент окажется, что вероятность перехода из $i$ в $i$ равна 1 и после нормировки окажется, что в этот момент $\rho _{ii}>0$, то в следующий момент вероятность будет больше 1. Это лишь какой-то частный случай. Ваше доказательство его не исключает. Во-всяком случае, я не вижу как это сделать. Буду очень благодарен, если вы покажете, что после нормировки удовлетворяются аксиомы вероятности. Но сначала разберитесь с той 1, которая $\Upsilon _{ii}(0)=1$. После этого вопрос должен исчезнуть.

[type2b]

я не понимаю, о чем вы говорите. Если вы определяете $\rho_{ii}$ с вычитанием единицы, т.е. $\rho_{ii}=(\Upsilon_{ii}(\Delta t)-1)/\Delta t$, то эта величина уже не имеет смысла плотности вероятности и, кажется, вообще никакого физического смысла, кроме того, что она равна $(-\sum_{i\ne j}\rho_{ij})$. В чем загвоздка?

[В.О.]

За нулевое время частица не может перейти ни в какое другое состояние $\Upsilon _{ij}(0)=0, i \ne j$. Она может только остаться в том же состоянии $\Upsilon _{ii}(0)=1 $. Тогда $\rho _{ii}=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-\Upsilon _{ii}(0))=\lim\frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1)$.

[type2b]

ну что вы, плотность вероятности -- это вероятность делить на время, не надо ничего вычитать.

[В.О.]

Я не знаю, что такое плотность вероятности, но в данном случае $\rho _{ij}=\dot\Upsilon _{ij}(0)$
Я завтра постараюсь написать все связно и подробно.

[В.О.]

Пусть $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ - вероятность перейти из $ i $-го в $ j $-е состояние за время $\Delta t $. Тогда
$\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)=1$ - условие нормировки.
Устремим в этом соотношении $\Delta t$ к 0 и перейдем к производным. Для этого нужно знать величины $\Upsilon _{ij}(0) $. Заметим, что за нулевое время $ \Delta t=0$ частица не может изменить состояние $\Upsilon _{ij}(0) =0, i\ne j$. За нулевое время частица может только остаться в том же состоянии $\Upsilon _{ii}(0) =1$. Тогда
$\dot\Upsilon _{ij}(0)=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ij}(\Delta t) - \Upsilon _{ij}(0) )=\lim \frac 1{\Delta t}\Upsilon _{ij}(\Delta t) ,\qquad i\ne j $.
$\dot\Upsilon _{ii}(0)=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t) -\Upsilon _{ii}(0))=\lim \frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1) $.
Из условия нормировки
\begin{multline*} 0=\frac 1{\Delta t}\left( \sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)-1\right) =\frac 1{\Delta t}\left( \sum_{i\neq j}\Upsilon _{ij}(\Delta t)+\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1\right) =\frac 1{\Delta t}( \sum_{i\neq j}(\Upsilon _{ij}(\Delta t)-0)+\Upsilon _{ii}(\Delta t)-1) =\\ =\sum_{i\neq j}\frac 1{\Delta t}(\Upsilon _{ij}(\Delta t)-\Upsilon _{ij}(0))+\frac 1{\Delta t}\left( \Upsilon _{ii}(\Delta t)-\Upsilon _{ii}(0)\right) \rightarrow \sum_{i\neq j}\dot\Upsilon _{ij}(0)+ \dot\Upsilon_{ii}(0)=\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0) \end{multline*}
Итого, функции $\Upsilon _{ij}(\Delta t)$ должны удовлетворять условию
$\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)=0$
Запишем уравнение баланса
$x_i(t+\Delta t)-x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\Upsilon _{ji}(\Delta t)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(\Delta t)$
Слагаемое $x_i(t)\Upsilon _{ii}(\Delta t) $ входит и в первую и во вторую сумму. Оно сокращается и можно считать, что его нет. Делим обе части на $\Delta t$и устремляем $\Delta t$ к 0. Получаем
$\dot x_i(t)=\sum\limits_{j=1}^nx_j(t)\dot\Upsilon _{ji}(0)-x_i(t)\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)$
Сравниваем это уравнение с уравнением из журнала и получаем $\rho _{ij}=\dot\Upsilon _{ij}(0)$. Окончательно, $\rho _{ij}$ должны удовлетворять условию нормировки
$\sum\limits_{j=1}^n\rho _{ij}=0$.

-- Ср апр 04, 2012 14:39:59 --

Можно не делать всех этих длинных выкладок.
Условие нормировки для произвольного $t$
$\sum\limits_{j=1}^n\Upsilon _{ij}(t)=1$
Дифференцируем по $t$ и кладем $t=0$. Получаем
$\sum\limits_{j=1}^n\dot\Upsilon _{ij}(0)=0$