Геометрия: треугольник, вписанная и описанная окружности

[Andrei94]

1)Докажите, что периметр прямоугольного треугольника в 2 раза больше суммы радиуса окружности, вписанной в треугольник, и диаметра окружности, описанной в около этого треугольника.

Попытка решения. $a,b$ - катеты. $c$ - гипотенуза.

$r$ и $R$ - радиусы вписанной и описанной окружности соответственно.

Тогда нужно доказать, что $a+b+c=2r+4R$



Так как треугольник прямоугольный, то $c=2R$ и значит нам нужно доказать, что $a+b=2r+2R$

А как это сделать? Почему-то получилось, что $a=b$ и дальше уже все просто. Но обязательно ли $a=b$? Если нет, то с чего начать доказательство?

2) На рисунке изображена окружность с центром в точке $O$.
$\angle CAD=38$ градусов. Чему равна величина (в градусах) угла $ABC$?



Хватает ли условий в задаче? Могу лишь сказать, что треугольник $\Delta ACD$ - прямоугольный и в нем все углы известны.

[alcoholist]

1) Есть красивое решение. Запишем равенство

Andrei94 в сообщении #555553 писал(а):

$a+b+c=2r+4R$

в виде $p-c=r$, где $p$ -- полупериметр. А теперь вспомните, что $S=pr$.

-- Вт апр 03, 2012 19:54:13 --

Andrei94 в сообщении #555553 писал(а):

Хватает ли условий в задаче?

Не хватает -- точка $B$ произвольна.

[Andrei94]

alcoholist в сообщении #555592 писал(а):

1) Есть красивое решение. Запишем равенство

Andrei94 в сообщении #555553 писал(а):

$a+b+c=2r+4R$

в виде $p-c=r$, где $p$ -- полупериметр. А теперь вспомните, что $S=pr$.

-- Вт апр 03, 2012 19:54:13 --

Andrei94 в сообщении #555553 писал(а):

Хватает ли условий в задаче?

Не хватает -- точка $B$ произвольна.

Спасибо. А площадь чего равна $S=pr$?

[alcoholist]

А что такое $pr$?-)

[Cash]

alcoholist в сообщении #555592 писал(а):

Не хватает -- точка $B$ произвольна.

И что из этого? Угол то вписанный...

[Andrei94]

alcoholist в сообщении #555695 писал(а):

А что такое $pr$?-)

Полупериметр, умноженный на радиус вписанной окружности. Мне это напоминает удвоенную площадь правильного многоугольника.

[alcoholist]

Cash в сообщении #555697 писал(а):

И что из этого? Угол то вписанный...

Да-да))) торможу

-- Вт апр 03, 2012 21:55:19 --

Andrei94 в сообщении #555702 писал(а):

Мне это напоминает удвоенную площадь правильного многоугольника.

полупериметр -- удваивать не надо

и не только правильного, а любого описанного

[Andrei94]

alcoholist в сообщении #555708 писал(а):

и не только правильного, а любого описанного

Разве?

-- 03.04.2012, 22:10 --

Cash в сообщении #555697 писал(а):

alcoholist в сообщении #555592 писал(а):

Не хватает -- точка $B$ произвольна.

И что из этого? Угол то вписанный...

А с чего нужно начать решать тогда?

[alcoholist]

Andrei94 в сообщении #555712 писал(а):

Разве?

да -- нарисуйте картинку и докажите

Andrei94 в сообщении #555712 писал(а):

А с чего нужно начать решать тогда?

со свойств вписанных углов

[Andrei94]

$\angle ADC$=52° (так как треуг. ACD - прямоугольный)

Используя следствие теоремы о вписанном угле:

(Оффтоп)

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Получаем, что $\angle ABC$=52° (так как $\angle ADC$=52°)

Правильно?

-- 03.04.2012, 23:23 --

alcoholist в сообщении #555726 писал(а):

да -- нарисуйте картинку и докажите

Даже, если это так, то все равно не пойму к чему это. Да, можно записать площадь еще так $S=\dfrac{ab}2$

$S=\dfrac{(a+b+c)r}{2}$

[alcoholist]

Andrei94 в сообщении #555677 писал(а):

$p-c=r$

$(p-c)p=pr=\frac{ab}{2}$ -- это уже очевидное равенство

[spaits]

Andrei94 в сообщении #555553 писал(а):

1)Докажите, что периметр прямоугольного треугольника в 2 раза больше суммы радиуса окружности, вписанной в треугольник, и диаметра окружности, описанной в около этого треугольника.

Попытка решения. $a,b$ - катеты. $c$ - гипотенуза.

$r$ и $R$ - радиусы вписанной и описанной окружности соответственно.

Тогда нужно доказать, что $a+b+c=2r+4R.$

Не нужна площадь для решения первой задачи. Надо использовать свойство касательных, проведенных из одной точки. Они равны.
$a+b-2r=c$; $c=2R$; отсюда $a+b=2r+2R$.
Теперь прибавьте к обеим частям равенства $c$ ($c=2R$) и получите искомое: $a+b+c=2r+4R$.

[Andrei94]

alcoholist в сообщении #555762 писал(а):

Andrei94 в сообщении #555677 писал(а):

$p-c=r$

$(p-c)p=pr=\frac{ab}{2}$ -- это уже очевидное равенство

А мне не очевидно

Не понятно - почему $S=(p-c)p$

-- 04.04.2012, 00:06 --

spaits в сообщении #555771 писал(а):

Не нужна площадь для решения первой задачи. Надо использовать свойство касательных, проведенных из одной точки. Они равны.
$a+b-2r=c$; $c=2R$; отсюда $a+b=2r+2R$.
Теперь прибавьте к обеим частям равенства $c$ ($c=2R$) и получите искомое: $a+b+c=2r+4R$.

А какую точку вы выбрали?

[alcoholist]

Andrei94 в сообщении #555779 писал(а):

Не понятно - почему $S=(p-c)p$

умножили обе части равенства $r=p-c$ на $p$, получили
$S=(a+b-c)(a+b+c)/4=ab/2$

[Andrei94]

alcoholist в сообщении #555796 писал(а):

умножили обе части равенства $r=p-c$ на $p$, получили
$S=(a+b-c)(a+b+c)/4=ab/2$

Спасибо, ясно, красиво

-- 04.04.2012, 01:57 --

spaits в сообщении #555771 писал(а):

Не нужна площадь для решения первой задачи. Надо использовать свойство касательных, проведенных из одной точки. Они равны.
$a+b-2r=c$; $c=2R$; отсюда $a+b=2r+2R$.
Теперь прибавьте к обеим частям равенства $c$ ($c=2R$) и получите искомое: $a+b+c=2r+4R$.

Трижды применил это свойство, только потом получилось доказать? Можно ли лаконичнее?