Магические квадраты

[AnDe]

Вопрос по линейным методам построения магических квадратов.
Пусть у нас есть две функции (Все числа - целые)
$x \equiv_n f(r;s) $
$y \equiv_n g(r;s) $
где x и y координаты клетки квадрата, а r и s координаты числа. Соответственно, подставляя координаты числа находим в какую клетку его нужно поставить.
Координаты числа z определяются из формул $z=nr+s+1$ ; $0\leq r \leq n-1$ ; $0 \leq s \leq n-1$
Метод называется линейным, если функции f и g - линейны, т.е. имеют вид:
$f(r;s)=a_1r+b_1s+c_1$
$g(r;s)=a_2r+b_2s+c_2$.
В книжке о квадратах для того, чтобы метод работал в качестве достаточных условий указываются:
1) $(a_1b_2-a_2b_1; n) = 1$ (условие взаимно однозначного соответствия между числами и клетками)
2) $(a_1; n)=1 $ ; $ (a_2; n)=1$ ; $(b_1; n)=1$ ; $(b_2; n)=1$ (условия магичности вертикальных и горизонтальных рядов)
3) $b_1c_2-b_2c_1 \equiv_d (a_1b_2-a_2b_1)\frac{(d-1)}{2}$
$a_2c_1-a_1c_2 \equiv_{d_1} (a_1b_2-a_2b_1)\frac{(d_1-1)}{2}$ (условия магичности восходящей диагонали)
где $d=(b_2-b_1; n)$ ; $d_1=(a_2-a_1; n)$
4)$b_1c_2-b_2c_1+b_1 \equiv_{d^`} (a_1b_2-a_2b_1)\frac{(d^`-1)}{2} $
$ a_2c_1-a_1c_2+a_2 \equiv_{d_1^`} (a_1b_2-a_2b_1)\frac{(d_1^`-1)}{2}$ (условия магичности нисходящей диагонали)
где $d^`=(b_1+b_2 ; n)$ ; $d^`_1=(a_1+a_2 ; n)$

Над вопросами необходимых условий предлагают подумать самому. Верно ли, что эти же условия являются и необходимыми?
Если что могу запостить свои доказательства.