вычисление потока жидкости (поверхностные интегралы)

[shumakovaeo]

задачу вроде решила (требуется двумя способами и ответы не совпадают)
может неверно составлены интегралы? (вычисления проверила в mathcad)

вычислить поток жидкости через внешнюю сторону поверхности пирамиды О(0,0,0), А(1,0,0), В(0,-2,0), С(0,0,3)
скорость жидкости $v=\{x+y-2z^2;0;3x-y+z^2\}$

а) с помощью поверхностного интеграла 2 рода
$P=\int\int (x+y-2z^2)dydz+(3x-y+z^2)dxdy$
вычисляем отдельно
$I_1=\int_{-2}^0dy\int_0^{1.5y+3}(x+y-2z^2)dz=|x=0.5y-1/3z+1|=...=-10$
$I_2=\int_{0}^1dx\int_{2x-2}^{0}(3x-y+z^2)dz=|z=1.5y-3x+3|=...=19/6$

б) по формуле Остроградского-Гаусса
$P=\int_0^1dx\int_{2x-2}^0dy\int_0^{1.5y-3x+3}(1+2z)dz=...=2.5$

измучилась в поисках ошибки...

[sup]

У пирамиды 4 грани. Через одну из граней поток тривиально равен 0. Осталось 3 грани, а у Вас всего 2 интеграла ...
Похоже, что нет потока через грань ABC.

[svv]

Два замечания.
1) У пирамиды 4 грани. Поток через грань $OAC$ равен нулю, так как $v_y=0$, это да. Но поток через грань $ABC$ тоже вносит вклад в общий поток и участвует в общем балансе, и его тоже нужно находить.
2) По-моему, Вы не учитываете направление нормали к поверхности. А нормаль входит в определение потока: $\int \mathbf v\cdot \mathbf n dS$. Для замкнутой поверхности вектор нормали обычно внешний, т.е. направлен наружу. Это приводит к тому, что положительный поток будет для вытекающей жидкости, отрицательный для втекающей.
И, когда Вы находите поток через $OBC$, например, то под интегралом должна быть проекция $\mathbf v$ не на ось $x$ (т.е. $v_x$), а на единичную внешнюю нормаль (на этой грани это $-\mathbf e_x$, смотрит в сторону отрицательных $x$). Значит, проекция будет $-v_x$. Аналогично для грани $OAB$.

[shumakovaeo]

при вычислении $P=\int\int (x+y-2z^2)dydz+(3x-y+z^2)dxdy$
в интегралах АВС участвует, тк подставляем $x=0.5y-1/3z+1$ и $z=1.5y-3x+3$ (уравнение АВС).

$I_1=\int_{-2}^0dy\int_0^{1.5y+3}(x+y-2z^2)dz=|x=0.5y-1/3z+1|=...=-10$
$I_2=\int_{0}^1dx\int_{2x-2}^{0}(3x-y+z^2)dz=|z=1.5y-3x+3|=...=19/6$

Не очень то я в этой теме...
надо наверно еще те же I1 и I2 считать для $x=0, z=0$ соответственно? (тогда и будут ОВС и АОВ)

досчитала
$I_3=\int_{-2}^0dy\int_0^{1.5y+3}(-x-y+2z^2)dz=|x=0|=...=11$
$I_4=\int_{0}^1dx\int_{2x-2}^{0}(-3x+y-z^2)dz=|z=0|=...=-5/3$
тогда в сумме получается как раз 5\2 (как во втором способе).

[spaits]

Вычислить поверхностный интеграл $\int\int xdydz+zdxdy$ по внешней стороне замкнутой поверхности, ограниченной плоскостями $y+4z=4$; $x=0$; $x=3$; $y=0$; $z=0$.

[shumakovaeo]

spaits в сообщении #555091 писал(а):

Вычислить поверхностный интеграл $\int\int xdydz+zdxdy$ по внешней стороне замкнутой поверхности, ограниченной плоскостями $y+4z=4$; $x=0$; $x=3$; $y=0$; $z=0$.

это задание потренироваться? вроде ответ 12 (6+6)?
там из 6 интегралов 4 нулевых

[spaits]

Меня интересует интеграл $\int\int xdydz$ по указанной выше части поверхности $y+4z=4$ (первый октант, $x\in[0;3]$).

[spaits]

Можно подробнее?

[shumakovaeo]

spaits в сообщении #555207 писал(а):

Меня интересует интеграл $\int\int xdydz$ по указанной выше части поверхности $y+4z=4$ (первый октант, $x\in[0;3]$).

плоскость $y+4z=4$ перпендикулярна плоскости Оуz проецируется в отрезок, я так думаю интеграл $\int\int xdydz$ части поверхности $y+4z=4$ (первый октант, $x\in[0;3]$) по равен 0.

вот $\int\int zdydх$ по указанной выше части поверхности $z=1-1/4y$ равен 6

12 получилось по поверхности всей призмы.

[spaits]

Спасибо, shumakovaeo.

[svv]

Спасибо и Вам, уважаемая spaits.