Конференция по финслеровой геометрии

[Time]

schekn в сообщении #552219 писал(а):

А лекции будете выкладывать? А то добраться до Вашей загородной базы боюсь будет проблематично.Интересуют особенно лекции Сипарова ну и других.

Вы имеете ввиду видеозаписи докладов с конференции? Или именно лекции со школ-семинаров? Если первое, то как обычно планируем выложить на:
http://www.polynumbers.ru/section.php?lang=ru&genre=75
Правда, с последней румынской конференции все никак не пришлют из Брашова диск, но когда ни будь и он на нашей странице "фильмы" появится. С планируемой летней конференции FERT-2012, думю, такой задержки с выкладыванием записей не возникнет.
Что касается лекций Сипарова и других на одной из прошедших школ, то их можно почитать на странице:
http://www.hyper-complex.ru/files/pages ... es_rus.pdf
(объем 32 МБ)
Кроме того недавно вышла его книга:
http://books.google.lt/books/about/Intr ... edir_esc=y
По поводу проблематичности добраться до базы на "Лесном озере", то в чем конкретно проблема? Если только в затратах на дорогу, это в принципе решаемый вопрос.. Хуже, если дифицит времени или желания..

[bayak]

Time в сообщении #552213 писал(а):

В таком случае можно Вас попросить записать трехмерную Бервальд-Мооровскую метрику в базисе из финслерова аналога ортонормированных координат, а не в изотропном как у Вас выше записано?

Пожалуйста:

$$S(X,T,Z)=(x^2-t^2)Z=(z^2-t^2)X=(x^2-z^2)T.$$

И не забывайте, что в этом Бервальд-Мооровском пространстве ортонормированной может быть только одна пара координат.

Time в сообщении #552213 писал(а):

Вы понимаете, что сама конструкция унитарных симметрий - прямое следствие представлений исключительно о квадратичных геометриях с незначительной модификацией за счет дополнения вещественных координат комплексными?

Да, я это понимаю, но меня интересует механизм встраивания этих квадратичных пространств во всеобъемлющее (вкупе с пространством Минковского) финслерово пространство.

[Time]

bayak в сообщении #552273 писал(а):

Пожалуйста:

$$S(X,T,Z)=(x^2-t^2)Z=(z^2-t^2)X=(x^2-z^2)T.$$

И не забывайте, что в этом Бервальд-Мооровском пространстве ортонормированной может быть только одна пара координат.

Я просил не для пары, а для тройки векторов нового базиса. И не для ортогональных в смысле квадратичной метрики, а для финслерова аналога понятия ортогональности. Именно игнорирование этих нюансов и заставило меня говорить о Вашей неореентируемости в этом трехмерном финслеровом пространстве. Вам кажется, раз Вы знаете думерную псевдоевклидову плоскость, это снимает необходимость разобраться с самим трехмерным пространством, достаточно расщепить его на двумерную псевдоевклидову поверхность и домножить на одномерную вещественную ось. Так Вы никогда по настоящему интересных свойств трехмерного Бервальда-Моора не разглядите. С таким же успехом, о самой псевдоевклидовой плоскости некоторые пытаются рассуждать как о расщеплении на два одномерных вещественных пространства.
Повторю свою просьбу о перезаписи метрической функции Бервальда-Моора из изотропного базиса в новый, состоящих из всех трех неизотропных векторов. Не нравится искать финслеров аналог ортонормированности базиса, запишите в произвольном первом попавшемся, хотя разобраться с вопросом обобщения ортогональности для такого пространства совсем не помешало бы. Это сняло бы массу проблем в будущем, если, конечно, Вы действительно хотите заниматься финслеровыми пространствами, а не делать вид, что идете в эту сторону..

Цитата:

Да, я это понимаю, но меня интересует механизм встраивания этих квадратичных пространств во всеобъемлющее (вкупе с пространством Минковского) финслерово пространство.

Ваша попытка вверху ответить на мой вопрос достаточно красноречиво показывает, что Ваши представления о "встраиваемости" квадратичных пространств в финслеровы, мягко говоря, однобока и неполна. В любом случае, если ограничиваться только таким пониманием своеобразия, которое привносится в геометрию с рассмотрением неквадратичных метрических функций, то ими можно даже и не начинать заморачиваться. Все равно ничего нового и действительно интересного не получится. Попробуйте понять, что разница между трехмерным финслеровм пространсвом Бервальда-Моора и его двумерным подпространством с псевдоевклидовой квадратичной метрикой на много более серьезная, чем между последним и его одномерным подпространством (которые Вы, надеюсь, не считаете одним и тем же, хотя метрика первого в изотропном базисе сводится к произведению двух вещественных прямых).

[bayak]

Time в сообщении #552284 писал(а):

Это сняло бы массу проблем в будущем, если, конечно, Вы действительно хотите заниматься финслеровыми пространствами, а не делать вид, что идете в эту сторону..

Продемонстрируйте мне, пожалуйста, три попарно (взаимно) ортогональных в финслеровом смысле (пока я не понимаю что это такое) вектора, а кубическую форму для этой базисной тройки я уж как-нибудь найду.

[Time]

bayak в сообщении #552296 писал(а):

Продемонстрируйте мне, пожалуйста, три попарно (взаимно) ортогональных в финслеровом смысле (пока я не понимаю что это такое) вектора, а кубическую форму для этой базисной тройки я уж как-нибудь найду.

В качестве наиболее прямого обобщения понятия ортогональных векторов в пространства $H_3$ следует рассматривать не три, как было в евклидовых или псевдоевклидовых трехмерных пространствах, а четыре вектора. Частным примером соответствующей четверки являются вектора с координатами в изотропном базисе:
(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1) и (-1,-1,1).
Эти четыре вектора совпадают по направлениям с четырьмя осями симметрий подпространств (камер) внутри изотропного конуса, образованных тремя изотропными плоскостями. Все остальные финслерово ортогональные четверки в пространстве $H_3$ получаются из этой исходной за счет 2-х параметрической абелевой группы гиперболических вращений. Выбирайте любую тройку из таких четверок и получайте в новом базисе новый вид кубической формы трехмерного Бервальд-Мооровского пространства.
На всякий случай отмечу, что в четырехмерном пространстве Бервальда-Моора финслерово ортогональных векторов и связанных с ними направлений уже восемь. А в двумерном - всего два, ну это Вы и сами знаете по свойствам двумерной псевдоевклидовой плоскости, которой изоморфно такое пространство.
Так же считаю важным подчеркнуть, что в $H_3$ помимо длин и углов как базовых метрических характеристик этого пространства есть еще и тринглы, поэтому обобщение ортогональности связано не только с характерными углами между парами векторов, но и с этой третьей дополнительной мерой, характеризующей тройки векторов. Трингл оказывается величиной тесно связанной с понятием обобщающим на $H_3$ скалярное произведение. Теперь здесь фигурирует вместо билинейной симметрической формы от двух векторов - трехлинейная симметрическая форма от трех векторов и все свойства этого пространства задаются именно этим главным геометрическим объектом. В том числе и финслерова ортогональность, и принципиально новые непрерывные симметрии, даже зачатка которых нет в обычных квадратичных пространствах. Из него же получается и естественное финслерово обобщение метрического тензора, который имеет не два как обычный метрический тензор, а три индекса.
Такое положение вещей может нравиться, может не нравиться, но оно столь же объективно, как факт, что в обычных квадратичных пространствах вся геометрия так или иначе определяется скалярным произведением двух векторов..

[bayak]

Time в сообщении #552509 писал(а):

В качестве наиболее прямого обобщения понятия ортогональных векторов в пространства следует рассматривать не три, как было в евклидовых или псевдоевклидовых трехмерных пространствах, а четыре вектора. Частным примером соответствующей четверки являются вектора с координатами в изотропном базисе:(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1) и (-1,-1,1).Эти четыре вектора совпадают по направлениям с четырьмя осями симметрий подпространств (камер) внутри изотропного конуса, образованных тремя изотропными плоскостями. Все остальные финслерово ортогональные четверки в пространстве получаются из этой исходной за счет 2-х параметрической абелевой группы гиперболических вращений. Выбирайте любую тройку из таких четверок и получайте в новом базисе новый вид кубической формы трехмерного Бервальд-Мооровского пространства.

Непонятно, почему четввёрка считается ортогональной. Остальное понятно.

[Time]

bayak в сообщении #552549 писал(а):

Непонятно, почему четввёрка считается ортогональной. Остальное понятно.

Скорее всего, Вам не понятно, почему такую симметричную четверку направлений в $H_3$ я предлагаю называть финслеровым обобщением ортогональности. Термин в принципе не особенно и важен. То, что таких симметричных неизотропных направлений в $H_3$ именно четыре, а не три, надеюсь, понятно? Название считайте просто авторским желанием. Оно достаточно оправданно, хотя бы потому, что выбирая произвольное неизотропное направление в $H_3$ мы всегда укажем еще 3 ему симметричных ("финслерово ортогональных"). То, что такая "ортогональность" не совсем совпадает с той, к которой привыкли в многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах, не должно особенно смущать. Примите просто как данность, как свойство таких пространств..

[bayak]

Я понимаю, что $\frac{2^3}{2}=4$, но почему эти прямые ортогональны в финслеровом смысле я не понимаю. Всё таки хотелось бы знать чем эта четверка выделяется.

[Time]

bayak в сообщении #552611 писал(а):

Я понимаю, что $\frac{2^3}{2}=4$, но почему эти прямые ортогональны в финслеровом смысле я не понимаю. Всё таки хотелось бы знать чем эта четверка выделяется.

Тем, что в трехмерном пространстве Бервальда-Моора именно четыре пары смежных конусов, ограниченных тремя изотропными плоскостями. В маломерных таких пространствах все можно представить себе довольно наглядно. Посмотрите, например рис.4 в:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /01-03.pdf
В пространстве Бервальда-Моора с $n$ измерениями имеется больше аналогичных смежных конусов. Их количество можно выразить формулой:
$$\frac{2^n}{2}$, три измерения просто частный случай.

[bayak]

Я посмотрел статью и мне стало понятно о какой "ортогональности" Вы говорите. Фактически, ортонормальным базисом Вы называете некоторую выделенную линейно независимую тройку векторов единичной финслеровой длины, а гиперболическим вращением (трехмерного времени) Вы называете 2-параметрическую абелеву группу, действие которой задано в изотропном базисе. Если бы Вы мне ещё показали финслерово скалярное произведение, то было бы ещё интересней.

Что касается моей попытки найти подходящую финслерову метрику для обобщения трёх квадратичных метрик, одна из которых метрика Минковского, то мое предположение:

bayak в сообщении #551222 писал(а):

Для того, чтобы найти симметричное представление финслеровой метрики, удовлетворяющей приведенным условиям, необходимо найти такой симметричный однородный многочлен третьей степени $A(X,Y,Z,T,S)$, что

$$(x^2+y^2+z^2-t^2)(x^2+y^2+z^2-s^2)(t^2-s^2)=A^2(X,Y,Z,T,S).$$

ошибочно. Но если Вам интересно, то я бы хотел продолжить эту тему.

[Time]

bayak в сообщении #554271 писал(а):

Если бы Вы мне ещё показали финслерово скалярное произведение, то было бы ещё интересней.

При фиксированной размерности финслерово скалярное полипроизведение в зависимости от вида симметрической полилинейной формы может порождать на много больше неизоморфных друг другу пространств, чем обычное скалярное произведение. Если говорить конкретно о пространстве $H_3$, то для него в изотропном базисе работает следующее скалярное полипроизведение трех векторов $T, X, Y$ с компонентами $T_i, X_j, Y_k$:
$(T,X,Y)=1/6(T_1X_2Y_3+T_1X_3Y_2+T_2X_1Y_3+T_2X_3Y_1+T_3X_1Y_2+T_3X_2Y_1)$.
Нет принципиальных сложностей рассмотреть это скалярное трипроизведение и в любом другом базисе, в частности в "ортонормированном" $t, x, y$, но особого смысла в этом нет, так как от базиса ничего принципиально не зависит, но вид формы станет слишком громоздким.
Легко убедиться, что подставляя в скалярное трипроизведение три раза один и тот же вектор, получаем:
$(X,X,X)=X_1X_2X_3$,
что совпадает с видом формы для куба интервала пространства $H_3$.
Одним из наиболее значимых следствий замены скалярного произведения на скалярное полипроизведение и переход от квадратичных метрик к кубическим и n-арным является неизбежность появления помимо финслеровых обобщений понятий длины и угла еще и третьей базовой метрической величины, которую мы назвали тринглом. С его появлением становится очевидным (для тех, кто умеет видеть очевидное), что геометрия финслеровых пространств даже в простейших случаях принципиально отличается от обычных геометрий, где нет ни тринглов, ни более сложных полиуглов, а есть только длины и углы. В свою очередь, появление дополнительных базовых инвариантов приводит к наличию в финслеровых пространствах существенно более богатого спектра принципиально разных нелинейных непрерывных симметрий. Если в квадратичных пространствах к таковым приводят только изометрические (инвариантность расстояний или интервалов) или конформные (инвариантность углов) преобразования, то в линейных финслеровых пространствах сами собой возникают дополнительные нелинейные симметрии, порождаемые требованием инвариантности тринглов и более сложных полиуглов. Такие преобразования можно называть поликонформными. В $H_3$ тринглинвариантных преобразований бесконечное множество, хотя бы потому, что они включают в себя в качестве подгруппы конформные преобразования, а последние образуют тут бесконечную группу. Пока математики не рассматривали таких симметрий и даже не приступали к построении их классификации. Надеюсь, постепенно эта несправедливость по отношению самому главному в геометриях - к симметриям, будет устранена. А вместе с ликвидацией этого пробела, физические приложения финслеровых пространств с их естественными преимуществами перед псевдоримановыми вариантами пространства-времени - так же станет очевидной.
Скалярное полипроизведение приводит так же к переопределению метрического тензора, который в обычных квадратичных пространствах имел вид двухиндексного симметрического тензора:
$g_{ij}$,
тогда как для искривленных пространств, получаемых на базе $H_3$, естественное обобщение метрического тензора имеет вид:
$g_{ijk}$,
то есть является многоиндексным объектом.
На сегодня мало кто умеет работать с такими пространствами не только в общем случае искривленных финслеровых пространств, но и даже с простейшими линейными вариантами, во многом аналогичными евклидовым и псевдоевклидовым линейным пространствам.

bayak в сообщении #554271 писал(а):

Но если Вам интересно, то я бы хотел продолжить эту тему.

Продолжайте на здоровье, но шансы на успех у Вас появятся никак не ранее, чем Вы научитесь работать и ориентироваться в простейших маломерных финслеровых пространствах, таких, например, как $H_3$.

[bayak]

Time в сообщении #554407 писал(а):

Продолжайте на здоровье, но шансы на успех у Вас появятся никак не ранее, чем Вы научитесь работать и ориентироваться в простейших маломерных финслеровых пространствах, таких, например, как $H_3$.

Учиться никогда не поздно, а я попробую подучиться на задачах.

Но прежде чем обращаться к простейшим маломерным финслеровым пространствам, хотелось бы разобраться с трёхмерными квадратичными пространствами. Как известно, геометрия этих пространств задаётся соответствующей квадратичной формой. В то же время, геометрия линейного пространства определяется группой его преобразований. В этой связи у меня есть один вопрос: отличается ли геометрия пространства с квадратичной формой $x^2+y^2-z^2$ и геометрия пространства с алгебраической формой $\sqrt{(X^2+Y^2)Z^2}$. Не трудно заметить, что однопараметрические группы преобразований плоскостей $(x,y)$ и $(X,Y)$ совпадают, а плоскостей $(x,z)$, $(y,z)$ и $(X,Z)$, $(Y,Z)$ соответственно, изоморфны. С другой стороны, группа преобразований пространства полностью задаётся группой преобразований его плоскостей. Таким образом, группы преобразований пространства $(x,y,z)$ и пространства $(X,Y,Z)$ изоморфны, следовательно эти пространства имеют одинаковую геометрию.

Что касается финслерова пространства, в которое встраивается пространство Минковского, то с учётом предложения предыдущего абзаца, я бы выбрал следующую форму:

$$\sqrt{(X^2+Y^2+Z^2)T^2\cdot S^2}$$

[Time]

Посмотрите, что Вы делаете.
Берете две финслеровы геометрии (псевдоевклидово пространство - частный случай финслерова) с интервалами вида:
$r^2=x^2+y^2-z^2$
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$
и утверждаете, что перд Вами одинаковые трехмерные геометрии.
Одна из ошибок в том, что для того что бы геометрия была финслеровой метрическая функция должна быть выражена формой первой степени однородности.
Вторая ошибка в неверном утверждении, что группы изометрических преобразований любого линейного финслерова пространства определяются подгруппами преобразований его двумерных подпространств (плоскостей). Еще Вейль доказал ряд теорем, приводящих к выводу, что для двух пространств, первое из которых с квадратичным типом метрической функции, а второе с собственно финслеровой (неквадратичной) при их равной размерности, группа движений у первого пространства всегда имеет больше независимых параметров, чем у второго. Поскольку первое из предложенных Вами пространств как известно имеет 6-параметрическую группу движений, даже без специальных исследований я Вам гарантирую, что второе имеет группу движений, в лучшем случае, 5-параметрическую. Кстати, сам Вейль, бывший большим поклонником симметрий, именно под впечатлением от данного неприятного факта отказался от дальнейших попыток финслеровых обобщений метрики пространства Минковского. По непонятным для меня причинам он не стал рассматривать конформные преобразования как порождающие специфический тип симметрий, а ведь для них доказанные им теоремы о приоритете квадратичных метрик уже не действуют.
Так, для первого Вашего примера конформная группа преобразований 10-параметрическая, а у второго пространства - бесконечномерная.
Но дело обстоит еще интереснее. У пространства со вторым видом метрики, кроме изометрических и конформных, есть еше дополнительные типы метрически выделенных преобразований и связанных с ними нелинейных симметрий. Они связаны с новыми для неквадратичных геометрий базовыми параметрами, расширяющими список из длин и углов. В квадратичных геометриях таких дополнительных базовых параметров нет, а вместе с их отсутствием нет и метрически выделенных преобразований более сложных и более интересных, чем конформные (другие симметрии есть, но они уже не метрические).
Так какие же это одинаковые пространства и на сколько у них одинаковые множества cимметрий?

Цитата:

Что касается финслерова пространства, в которое встраивается пространство Минковского, то с учётом предложения предыдущего абзаца, я бы выбрал следующую форму:

$$\sqrt{(X^2+Y^2+Z^2)T^2\cdot S^2}$$

Вы записываете метрическую функцию крайне несуразно. Она у Вас не первой степени однородности. Лучше так:
$R^6=(X^2+Y^2+Z^2)T^2\cdot S^2$,
ну или корень возьмите не квадратный, а шестой степени.
Я не видел, что бы кто ни будь из моих знакомых финслеристов исследовал соответствующую геометрию на группы симметрий, но уверен, что у него совсем не те же самые (и не входят в виде подгруппы) симметрии, что у пространства Минковского.
Если уж Вы обязательно хотите, что бы группа Пуанкаре и группа Лоренца входили в качестве симметрий некоего финслерова пространства, то ищите их среди подгрупп групп конформных симметрий этого пространства, или еще среди более сложных.
Еще раз призываю разобраться с простыми финслеровыми пространствами, в частности, имеющими три измерения и размерность формы не выше кубов, и только потом пытаться искать наилучшие финслеровы обобщения пространства Минковского.

[bayak]

Не вижу проблем с выражением метрических форм в разных степенях, но пусть будет как у Вас - 1-й степени:
$r^2=x^2+y^2-z^2$
$R^4=(X^2+Y^2)Z^2$.
Возьмём и вычислим метрические формы в плоскостях:
$r^2(x,y)=x^2+y^2$, $r^2(x,z)=x^2-z^2$, $r^2(y,z)=y^2-z^2$ и $R^2(X,Y)=\sqrt{X^2+Y^2}$, $R^2(X,Z)=XZ$, $R^2(Y,Z)=YZ$.
Откуда понятно, что и первое пространство и второе имеют изоморфные группы вращений своих плоскостей, а именно: первое - группу евклидовых поворотов и две группы псевдоевклидовых поворотов, второе - группу евклидовых поворотов и две группы "финслеровых поворотов", изоморфных псевдоевклидовым. Следовательно там и там по три однопараметрические подгруппы, которые порождают соответствующие 3-параметрические группы вращений. Добавляем 3-параметрическую группу сдвигов и в результате в обоих случаях имеем 6-параметрические группы движений этих пространств. Или я где-то наврал? И потом, вроде бы есть теорема, согласно которой любая группа Ли порождается своими маломерными подгруппами.

[Time]

bayak в сообщении #555668 писал(а):

Или я где-то наврал?

Наврали. Причем безбожно.
У финслеровых трехмерных линейных пространств вращения, как правило, происходят не в плоскости, а по более сложным поверхностям (если они вообще есть, так как многие такие пространства вообще не имеют нетривиальных непрерывных вращений). Честно говоря, если Вы так и не возьметесь познакомиться плотно хотя бы с пространством $H_3$, думаю, продолжение диалога становится бессмысленным.