Если бы Вы мне ещё показали финслерово скалярное произведение, то было бы ещё интересней.
При фиксированной размерности финслерово скалярное полипроизведение в зависимости от вида симметрической полилинейной формы может порождать на много больше неизоморфных друг другу пространств, чем обычное скалярное произведение. Если говорить конкретно о пространстве
, то для него в изотропном базисе работает следующее скалярное полипроизведение трех векторов
с компонентами
:
.
Нет принципиальных сложностей рассмотреть это скалярное трипроизведение и в любом другом базисе, в частности в "ортонормированном"
, но особого смысла в этом нет, так как от базиса ничего принципиально не зависит, но вид формы станет слишком громоздким.
Легко убедиться, что подставляя в скалярное трипроизведение три раза один и тот же вектор, получаем:
,
что совпадает с видом формы для куба интервала пространства
.
Одним из наиболее значимых следствий замены скалярного произведения на скалярное полипроизведение и переход от квадратичных метрик к кубическим и n-арным является неизбежность появления помимо финслеровых обобщений понятий длины и угла еще и третьей базовой метрической величины, которую мы назвали тринглом. С его появлением становится очевидным (для тех, кто умеет видеть очевидное), что геометрия финслеровых пространств даже в простейших случаях
принципиально отличается от обычных геометрий, где нет ни тринглов, ни более сложных полиуглов, а есть только длины и углы. В свою очередь, появление дополнительных базовых инвариантов приводит к наличию в финслеровых пространствах существенно более богатого спектра принципиально разных нелинейных непрерывных симметрий. Если в квадратичных пространствах к таковым приводят только изометрические (инвариантность расстояний или интервалов) или конформные (инвариантность углов) преобразования, то в линейных финслеровых пространствах сами собой возникают дополнительные нелинейные симметрии, порождаемые требованием инвариантности тринглов и более сложных полиуглов. Такие преобразования можно называть поликонформными. В
тринглинвариантных преобразований бесконечное множество, хотя бы потому, что они включают в себя в качестве подгруппы конформные преобразования, а последние образуют тут бесконечную группу. Пока математики не рассматривали таких симметрий и даже не приступали к построении их классификации. Надеюсь, постепенно эта несправедливость по отношению самому главному в геометриях - к симметриям, будет устранена. А вместе с ликвидацией этого пробела, физические приложения финслеровых пространств с их естественными преимуществами перед псевдоримановыми вариантами пространства-времени - так же станет очевидной.
Скалярное полипроизведение приводит так же к переопределению метрического тензора, который в обычных квадратичных пространствах имел вид двухиндексного симметрического тензора:
,
тогда как для искривленных пространств, получаемых на базе
, естественное обобщение метрического тензора имеет вид:
,
то есть является многоиндексным объектом.
На сегодня мало кто умеет работать с такими пространствами не только в общем случае искривленных финслеровых пространств, но и даже с простейшими линейными вариантами, во многом аналогичными евклидовым и псевдоевклидовым линейным пространствам.
Но если Вам интересно, то я бы хотел продолжить эту тему.
Продолжайте на здоровье, но шансы на успех у Вас появятся никак не ранее, чем Вы научитесь работать и ориентироваться в простейших маломерных финслеровых пространствах, таких, например, как
.