помогите доказать - объем vs площадь его оболочки

[kefi]

Не знаю - справедлива ли теорема :
Если есть произвольная одно или многосвязная область V, ограниченная поверхностью площади S, то V - есть бесконечно малая более высокого порядка чем S.
Натолкните, плз., на основные идеи доказательства или подскажите все решение. Для математиков это должно быть не трудно.

[migmit]

С утра объём, как и площадь, был числом, а не бесконечно малой.

[alcoholist]

вероятно, имеется ввиду изопериметрическое неравенство в $\mathbb{R}^n$

$$ c_nV^{n-1}\le S^n, $$

где $V$ -- объем тела ($n$-мерный), а $S$ -- площадь его границы ($(n-1)$-мерная). По крайней мере для тел с гладкой границей.

Ясно, что $V/S\to 0$ при $S\to 0$ ($n>1$).

-- Пн апр 02, 2012 07:12:03 --

да... $c_n=n^n\operatorname{Vol}B^n$, $B^n$ --единичный шар.

[PAV]

В учебный раздел

[svv]

alcoholist в сообщении #554716 писал(а):

вероятно, имеется ввиду изопериметрическое неравенство в $\mathbb{R}^n$

$$c_nV^{n-1}\le S^n, $$

где $V$ -- объем тела ($n$-мерный), а $S$ -- площадь его границы ($(n-1)$-мерная).

А оно выражает простую идею: при данном $S$ объём $V$ не превосходит объёма шара ($n$-мерного).

[kefi]

alcoholist в сообщении #554716 писал(а):

Ясно, что $V/S\to 0$ при $S\to 0$ ($n>1$).

Спасиб. Только имелось ввиду: при $V\to 0$ - или это считается очевидным - стремление объема к нулю эквивалентно стремлению площади к нулю ? Хотя ... - для многосвязной области это , наверно, несправедливо.

[svv]

Увы, нет. Вспомните, есть такие пляжные надувные мячики, в отличие от воздушных шаров они практически нерастяжимы, то есть площадь поверхности $S$ постоянна, но объем можно менять от объема шара с данной $S$ до нуля.

[kefi]

Хотелось бы тогда понять - отчего бы в определениях производной по объему не делать стремление площади к нулю вместо стремления объема к нулю и не подразумевать бы при этом , что объем стремится к нулю - ведь из стремления площади к нулю однозначно вытекает стремление объема к нулю ?

[svv]

Конечно, только так и надо.
Вот цитатка из Википедии (статья Бесконечно малая и бесконечно большая):

Цитата:

Если $\lim\limits_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=0$, то $\beta$ — бесконечно малая высшего порядка малости, чем $\alpha$.

Сравнивая с Вашей формулировкой

kefi писал(а):

V - есть бесконечно малая более высокого порядка чем S

видим, что в Вашем случае $V$ играет роль $\beta$, а $S$ играет роль $\alpha$, а не наоборот. Тогда будет равен нулю именно предел $\lim\limits_{S\to 0}\frac{V}{S}=0$, как Вы и хотели.
Только, чтобы это было осмысленно математически, надо под $V$ понимать максимально возможный объем при данной $S$, тогда он будет функцией $S$, просто же объем функцией $S$ не является.