Когда любая группа из n элементов циклическая?

[Ktina]

Доказать, что если $n$ взаимно просто с $\varphi (n)$, то любая группа из $n$ элементов является циклической.

*$\varphi (n)$ - количество натуральных чисел от 1 до $n$ (включительно), взаимопростых с $n$.

[Ktina]

Ktina в сообщении #554422 писал(а):

$\varphi (n)$ - количество натуральных чисел от 1 до $n$ (включительно), взаимопростых с $n$.

Разумеется, не включительно, но сегодня Первое Апреля.

[xmaister]

Ktina в сообщении #554422 писал(а):

если $n$ взаимно просто с $\varphi (n)$

Значит $n=p_1\ldots p_s$, $p_i$- нечетные простые. По теореме Силова существуют подгруппы порядка $p_i$, значит $G$ разлагается в прямое произведение своих силовских $p_i$ подгрупп. А значит $G$- циклическая. Вроде так...

[Sonic86]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #554456 писал(а):

По теореме Силова существуют подгруппы порядка $p_i$, значит $G$ разлагается в прямое произведение своих силовских $p_i$ подгрупп.

А почему сразу в прямое? Есть неабелевы группы порядка $pq$ при $q\equiv 1\pmod p$ (правда, они не удовлетворяют условию задачи).
Т.е. не полностью использована взаимная простота $n,\varphi(n)$.
Т.е. если $n=p$ то понятно.
Если $n=pq$, то $N_p=1;q$, при $N_p=1$ соответствующая группа $P$ - нормальный делитель и тогда $G\cong P\times Q$, а если $N_p=q$, то группа $G$ нециклическая, однако $q\equiv 1\pmod p$, а это противоречит условию взаимной простоты $n,\varphi(n)$.
Но как идти по каноническому разложению мне непонятно. Например, при $n=pqr$ (минимальное число $n=255$) должно быть $pq\equiv 1\pmod r , pr\equiv 1\pmod q, qr\equiv 1\pmod p$ - не искал минимальный пример даже троек $p,q,r$, не то, что группы, как-то сложно.
Скорее всего это не тот путь...

[xmaister]

(Оффтоп)

Sonic86, Вы правы. Тут я прокололся . Тогда не понятно, как решать.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Вот вопрос вдогонку: характеризуется ли полностью группа порядка $n=p_1...p_s$ числами $N_{p_j}$ (числом сопряженных силовских подгрупп). Для $s=1;2$ - да, а дальше - не знаю, знаю только, что есть какая-то спецлитература об этом.

[MrDindows]

http://olympiads.mccme.ru/lktg/2011/6/6-2ru.pdf
будем считать, что я доказал)

[wallflower]

Тут указаны необходимые и достаточные условия на натуральное $n$, чтобы конечная группа порядка $n$ была циклической, абелевой или нильпотентной.

[Sonic86]

MrDindows в сообщении #554559 писал(а):

http://olympiads.mccme.ru/lktg/2011/6/6-2ru.pdf
будем считать, что я доказал)

О! Интересно, а что такое

Цитата:

$f\circ (1,2,...,\frac{n}{p_1p_2})^j$

?

wallflower в сообщении #554563 писал(а):

Тут указаны необходимые и достаточные условия на натуральное $n$, чтобы конечная группа порядка $n$ была циклической, абелевой или нильпотентной.

Ого! Спасибо!...

[MrDindows]

Sonic86 в сообщении #554578 писал(а):

MrDindows в сообщении #554559 писал(а):

http://olympiads.mccme.ru/lktg/2011/6/6-2ru.pdf
будем считать, что я доказал)

О! Интересно, а что такое

Цитата:

$f\circ (1,2,...,\frac{n}{p_1p_2})^j$

?

Пожалуй это композиция функции $f$ на вектор $(1,2,...,\frac{n}{p_1p_2})$ в некоторой степени. Угадал?)

[Sonic86]

MrDindows в сообщении #554601 писал(а):

:-) Пожалуй это композиция функции $f$ на вектор $(1,2,...,\frac{n}{p_1p_2})$ в некоторой степени. Угадал?)

Не ну шутки шутками, а я вот не умею вектор произвольной длины возводить в степень и трансформировать его в функцию (и вообще - что такое композиция 2-хместных функций? )

[MrDindows]

Sonic86 в сообщении #554609 писал(а):

MrDindows в сообщении #554601 писал(а):

:-) Пожалуй это композиция функции $f$ на вектор $(1,2,...,\frac{n}{p_1p_2})$ в некоторой степени. Угадал?)

Не ну шутки шутками, а я вот не умею вектор произвольной длины возводить в степень и трансформировать его в функцию (и вообще - что такое композиция 2-хместных функций? )

Кстате:

Цитата:

Заметка доступна школьникам: для понимания не требуется знаний по теории групп.

Плохо мы, видимо, учились в школе...
Я тоже не умею и не знаю) Перечитал тот абзац десяток раз, но ту формулу так и не понял.
Ну я думаю, Ktina придёт, и расскажет)

[RIP]

Это не вектор, а циклическая подстановка (т.е. 1 переходит в 2, 2 — в 3,…, $\frac n{p_1p_2}$ — в 1). Я думаю, что там имеется в виду прямое произведение групп $G_{p_1,p_2}$ и группы подстановок, порождённой циклом $(1,2,…,\frac n{p_1p_2})$, т.е. $\mathbb Z/\frac n{p_1p_2}\mathbb Z$ (что логично: типа достаточно привести пример для $n=p_1p_2$, который можно "поднять" до общего случая с помощью прямого произведения).