Из дифференцируемости следует непрерывность

[A'Y]

Теорема. Если $f$ дифференцируема в $x_0$, то $f$ непрерывна в $x_0$.
Пруф[

$$\begin{equation}\lim_{x\to{x_0}}f(x)-f(x_0)=0\end{equation} \begin{equation}\lim_{x\to{\x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)}\cdot\left(x-x_0\right)=f'(x_0)\cdot0=0\end{equation}$$

]Пруф.

$(1)$ из определения непрерывности, понятно. Как в $(2)$ $f(x_0)$ под $\lim$ внесли?

[Someone]

Предел константы чему равен? Вообще, свойства предела повспоминайте.

[Human]

A'Y в сообщении #554568 писал(а):

Как в $(2)$ $f(x_0)$ под $\lim$ внесли?

$f(x_0)$ - константа, так что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x_0)=f(x_0)$.

[A'Y]

Понял. Спасибо.

-- 01.04.2012, 20:13 --

А как доказать непрерывность функции? Нельзя же продифференцировать её во всех точках.

[Human]

A'Y в сообщении #554583 писал(а):

А как доказать непрерывность функции? Нельзя же продифференцировать её во всех точках.

У Вас в теореме фигурирует всего одна точка. Понятно, что если функция дифференцируема на интервале, то она на этом же интервале непрерывна: нужно применить указанную теорему к каждой точке интервала.

[A'Y]

Понятно. А как доказать непрерывность функции на интервале?

[Human]

A'Y в сообщении #554592 писал(а):

Понятно. А как доказать непрерывность функции на интервале?

В смысле? Если она дифференцируема всего в одной точке интервала?

[A'Y]

Дана функция. Доказать её непрерывность.

[Human]

A'Y в сообщении #554595 писал(а):

Дана функция. Доказать её непрерывность.

И про функцию ничего не известно?

[A'Y]

Это не задача. Просто мне интересно. Вот есть функция, скажем, синус. Я знаю, что синус - функция непрерывная, но откуда это берётся/доказывается изначально?

[ewert]

Это достаточно сложно, и потому в школе принимается за самоочевидное. Весь вопрос в том, а что, собственно, такое синус. Т.е. что, собственно, такое длина дуги окружности. Вот где-то внутри последнего вопроса непрерывность синуса и зарыта. А где конкретно... так ли уж и интересно?...

[A'Y]

Я про любую функцию, а $sin$ для примера. Я подумал что применяется указанная теорема, т.е. доказывается дифференцируемость функции во всех точках. Но когда точек $\infty$ - как в доказательстве это обходится? Вот это мне интересно. По индукции вроде не получится. Или же путь доказательства вообще другой (не через дифференцируемость) и сложный?

[Human]

A'Y в сообщении #554602 писал(а):

Это не задача. Просто мне интересно. Вот есть функция, скажем, синус. Я знаю, что синус - функция непрерывная, но откуда это берётся/доказывается изначально?

Ох, ну вы и вопросик задали. Думаю, лучше дождаться квалифицированных специалистов (я не из них). Но мне кажется, что всё зависит от самой функции. Например в случае с синусом я бы доказывал так:

$$|\sin x-\sin x_0|=2\left|\sin\left(\frac{x-x_0}2\right)\right|\left|\cos\left(\frac{x+x_0}2\right)\right|\leqslant2\left|\sin\left(\frac{x-x_0}2\right)\right|=2\sin\left|\frac{x-x_0}2\right|\leqslant|x-x_0|$$

а потом воспользоваться непрерывностью функции $y=x$. Последнее неравенство следует из геометрических соображений (если синус вводить на единичной окружности).

[A'Y]

Интересный ход. А как доказать непрерывность y=x ?

[Human]

Human в сообщении #554608 писал(а):

Я подумал что применяется указанная теорема, т.е. доказывается дифференцируемость функции во всех точках. Но когда точек $\infty$ - как в доказательстве это обходится?

Например, произвольная точка заменяется параметром ($x_0$), для этого параметра пользуясь лишь общими соображениями и свойствами функции, не зависящими от конкретной точки, доказывается некоторое свойство. Затем говорится "волшебная фраза": так как мы нигде в доказательстве не пользовались конкретным видом параметра, то доказанное нами свойство верно для всех значений этого параметра.
Пример: смотрите мой пост выше. Я доказал неравенство для всех точек $x_0$ на действительной оси просто потому, что не пользовался конкретным видом этого параметра.