вычислить поверхностный интеграл

[shumakovaeo]

интеграл вычислен, смущает ответ - 0. правильный ли ответ?

$\int\int{xyzds}$ вычислить интеграл по s - части поверхности $z=\sqrt{1-x^2}$, вырезаемой поверхностью $x^2+y^2=1$

проекция s на Оху круг радиуса 1 с центром (0;0).
$\sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
в итоге собираем интеграл

$$\int_{-1}^1dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}xydy=...=0$$

[svv]

Да, интеграл равен нулю из соображений симметрии. Это можно сказать сразу, результат подтверждаю, но правильны ли сами вычисления -- это уже вопрос другой.
Подынтегральная функция равна $xyz$, а область Ваша симметрична относительно отражений $x\to -x$ и $y\to -y$. Значит, для любой точки поверхности $(x, y, z)$, дающей $xyz$, найдется точка $(-x, y, z)$, тоже лежащая на поверхности и дающая $-xyz$. Вот их вклад так парами и взаимоуничтожается.

[shumakovaeo]

да там вроде и ошибиться в вычислениях негде, спасибо за ответ.