Прямая или пара совпадающих прямых?

[Ktina]

Если изобразить на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству
$x^2+y^2=2xy$, что получится?
Я думала, что получится прямая, но Альфа со мной не согласна и пишет "пара совпадающих прямых".
А почему, собственно?

З. Ы.

(Оффтоп)

Всех с Первым Апреля!

[nnosipov]

Ktina в сообщении #554395 писал(а):

А почему, собственно?

Для уравнения второй степени одна прямая как-то не солидно смотрелась бы

[Ktina]

nnosipov в сообщении #554396 писал(а):

Ktina в сообщении #554395 писал(а):

А почему, собственно?

Для уравнения второй степени одна прямая как-то не солидно смотрелась бы

Так какие именно прямые совпадают?
У меня получилось $x^2+y^2=2xy \to x^2+y^2-2xy=0 \to (x-y)^2=0 \to x-y=0 \to x=y$
И где здесь две?

[Someone]

Хм... Считаем же мы, что у уравнения $x^2-2x+1=0$ два одинаковых корня. А можем считать, что один (так, кстати, в школе и делают). Как договоримся, так и будем считать.

[Ktina]

Someone в сообщении #554405 писал(а):

Хм... Считаем же мы, что у уравнения $x^2-2x+1=0$ два одинаковых корня. А можем считать, что один (так, кстати, в школе и делают). Как договоримся, так и будем считать.

В таком случае, любую прямую можно рассматривать как пару совпадающих прямых (как в анекдоте про тополога и кружку).

[gris]

Мне кажется, что здесь дело в том, что в Вашем случае одна прямая это предельный случай. Стоит немного пошевелить уравнение и тут же появятся две прямых или ни одной.
Если две плоскости пересекаются по прямой, то сколько их не шевели, двух прямых не получишь. Разве что при достаточном шевелении можно сделать их параллельными. Но и то, тут существует некоторое эпсилон, не выходя за которое, нельзя.
Если плоскость касается цилиндра, то такого эпсилона не существует. А существуют сколь угодно малые шевеления приводящие к двум прямым, к эллипсу.
Если кривая имеет касание с прямой пятого порядка, то незначительным шевелением коэффициентов можно добиться появления и пяти близких пересечений.

А Волга впадает в Каспийское море. Мильпардон за болтовню. Весна-с!

[Ktina]

gris в сообщении #554415 писал(а):

А Волга впадает в Каспийское море.

(Оффтоп)

Волга в сердце впадает моё

[apriv]

Это пара совпадающих прямых. В кольце $K[x,y]/(x^2+y^2-2xy)$ есть нильпотенты, поэтому соответствующая схема не является приведенной.

[Someone]

Ktina в сообщении #554413 писал(а):

В таком случае, любую прямую можно рассматривать как пару совпадающих прямых

Если Вам очень хочется - считайте. Только предупредите остальных, что Вы так прямые считаете.

[Ktina]

Someone в сообщении #554487 писал(а):

Ktina в сообщении #554413 писал(а):

В таком случае, любую прямую можно рассматривать как пару совпадающих прямых

Если Вам очень хочется - считайте. Только предупредите остальных, что Вы так прямые считаете.

(Оффтоп)

Ну, Первого-то Апреля, вроде, всё можно

[Joker_vD]

Ktina в сообщении #554397 писал(а):

Так какие именно прямые совпадают?

$(x-y)^2=0$ — две прямые, одна $x-y=0$ и вторая $x-y=0$. Так уж вышло, что они совпадают. Если считаете индексы пересечений, кратности надо учитывать.

[svv]

То же самое хотел сказать. Считайте, что в этой науке пересечение -- это не просто множество, а нечто, имеющее дополнительную характеристику -- кратность. Кстати, это имеет прямое отношение к тому Вашему вопросу о порядке касания.