групповая алгебра над полем

[Golenostopov]

Здравствуйте! Буду очень благодарен за помощь в решении данной задачи:

Имеется групповая алгебра абелевой группы над полем. Нужно доказать, что она представляется в виде прямой суммы полей.

Спасибо.

[alcoholist]

Исходите из ответа:

$$ \mathbb{K}[G]\simeq \sum_G\mathbb{K}. $$

Попытайтесь построить биекцию слева направо, а потом докажите что она -- изоморфизм алгебр

[g______d]

Что, прямо так очевидно? Во-первых, надеюсь, что группа все-таки конечна. Даже в этом предположении не факт, что можно обойтись без теоремы Машке.

-- 31.03.2012, 01:15 --

И то не над всеми полями это работает. Или я туплю?

-- 31.03.2012, 01:18 --

Например, википедия пишет, что это неверно в случае, если характеристика $\mathbb K$ делит $|G|$.

[muzeum]

g______d в сообщении #553992 писал(а):

Что, прямо так очевидно? Во-первых, надеюсь, что группа все-таки конечна. Даже в этом предположении не факт, что можно обойтись без теоремы Машке.

-- 31.03.2012, 01:15 --

И то не над всеми полями это работает. Или я туплю?

-- 31.03.2012, 01:18 --

Например, википедия пишет, что это неверно в случае, если характеристика $\mathbb K$ делит $|G|$.

Если поле имеет конечную характеристику, а порядок (конечной) группы делится на эту характеристику, то групповая алгебра не полупроста и не является прямым произведением полей.
Если поле характеристики ноль, то групповая алгебра полупроста. Из этого следует, что она вкладывается в декартово произведение полей (группа коммутативна - это существенно), точнее, она является подпрямым произведением полей.

[spyphy]

muzeum в сообщении #606474 писал(а):

Если поле имеет конечную характеристику, а порядок (конечной) группы делится на эту характеристику, то групповая алгебра не полупроста и не является прямым произведением полей.

Это откуда следует?
В теорема Машке импликация только в одну сторону.

[spyphy]

ошибся, в обе стороны

-- Вс янв 06, 2013 16:29:41 --

ошибся, в обе стороны