Отобразить область, ТФКП

[phys]

Была уже такая тема, я думал что что то решил, оказалось все было неправильно.

Область, ограниченную отрезками, которые соединяют точки $A(-1, 0)\quad B(-1,4)\quad C(1,4)\quad D(1,0)$, или проще, :
$ D =\begin{cases} -1 \leq \operatorname{Re}z \leq 1 \\ 0 \leq \operatorname{Im}z \leq 4 \end{cases} $
отобразить с помощью $w = \sqrt{z}$.

Допустим что область $D(x,y)$ отображается в область $G(u, v)$.
Тогда:

$ w^2 = z \\ w = u + iv \\ z = x+iy \\ u^2 - v^2 + 2iuv = x+ iy $

Приравнивая мнимую и действительную часть получаем:
$ \begin{cases} u^2 - v^2=x \qquad \enqo(1) \\ 2uv = y \qquad \enqo(2) \end{cases}$

Что делать дальше? Как решить то что получиться?
Например, подставим верхнюю прямую, характерную $y = 4, -1 \leq x \leq 1$
Из второго получим $u = \dfrac2 v$, из первого $-1 \leq u^2 - v^2 \leq 1$

Дальше не знаю :(

[alcoholist]

Параметри

phys в сообщении #553737 писал(а):

Из второго получим $u = \dfrac2 v$, из первого $-1 \leq u^2 - v^2 \leq 1$

ну, попробуйте $u=\sqrt{2}e^t$, $v=\sqrt{2}e^{-t}$ -- найдите как изменяется $t$

[phys]

Получилось печально, $arcsh(\frac{\sqrt2}{4}) \leq t \leq arcsh(\frac{\sqrt2}{4})$

Попробовал так.

Немного помогла простенькая программка Advanced Grapher.
То, что заштриховано сеткой, область $-1 \leq u^2 - v^2 \leq 1$
Соответственно системе уравнений выше, это множество точек еще нужно пересечь с множеством $2uv = 4$
Получаем что то вроде:


Для нижней прямой, характерной тем что $y = 0$, первое уравнение остается тем же, а второе дает множество в виде "крестика". Итого:


Теперь для вертикальных прямых: система будет
$ \begin{cases} u^2 - v^2 = \pm1 \\ 0 \leq 2uv \leq 4 \end{cases} $

Тогда, первое уравнение - парабола рогами вверх и вниз для $-1$ и рогами в стороны для $+1$, второе уравнение - см. рисунок, там где ортогонально пересекаются две штриховки.



Ну и в результате искомая область где то тут:

[ewert]

phys в сообщении #553751 писал(а):

первое уравнение - парабола рогами вверх и вниз для $-1$ и рогами в стороны для $+1$,

Только не парабола. А так картинка правильная.

[Полосин]

phys, не надо отображать область. Достаточно найти образ границы и воспользоваться принципом соответствия границ. В данном случае экономия небольшая, но все-таки...