маятник Уитни

[Oleg Zubelevich]

Формулировка задачи Уитни содержится здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/3171/
результат этой задачи вытекает из следующей теоремы, которая предлагается в качестве упражнения.

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение второго порядка

$$\ddot x=f(t,x,\dot x).\qquad (*)$$

Функция $f(t,x,y)$ дифференцируема в окрестности множества $\{(t,x,y)\in\mathbb{R}^3\mid t\ge 0,\quad |x|\le 1\}$. Предположим, что все решения уравнения (*) бесконечно продолжаемы вправо.

Теорема. Предположим, что при всех $t\ge 0$ выполненены следующие неравенства $f(t,1,0)>0,\quad f(t,-1,0)<0$. Тогда уравнение (*) имеет решение $x(t),\quad \dot x(0)=0$ такое, что при всех $t\ge 0$ будет $|x(t)|<1$.

[Dave]

Oleg Zubelevich в сообщении #547610 писал(а):

Функция $f(t,x,y)$ дифференцируема в окрестности множества $\{(t,x,y)\in\mathbb{R}^3\mid t\ge 0,\quad |x|\le 1\}$. Предположим, что все решения уравнения (*) бесконечно продолжаемы вправо.

Честно говоря не понял, "вправо" - это куда в данном случае?
Но это и не важно. Идея такая - предположим противное. Тогда все начальные положения разобьются на два множества - $D_-$ и $D_+$ - соответственно те, при которых первое достижение границы $|x|=1$ происходит в точке $x=-1$ и те, где оно происходит в точке $x=1$ (мы рассматриваем только решения, удовлетворяющие условию $\dot x(0)=0$). Доказываем, что оба эти множества - открытые в топологии, порожденной пересечением отрезка $[-1,1]$ с естественной топологией действительной прямой.
Это делается примерно так, на примере $D_+$. Берём любую точку $a \in D_+$. Пусть $t$ - момент первого достижения траекторией, соответствующей этому начальному положению, значения $1$. Тогда $\dot x_a(t) \geqslant 0$. Дальше применяем непрерывную зависимость решения и его производной от начального положения. При $a'$, достаточно близких к $a$, $x_{a'}(t)$ находится рядом с $x_a(t)$, равно как и $\dot x_{a'}(t)$ - рядом с $\dot x_a'(t)$. Если $\dot x(t)>0$, то и $\dot x_{a'}(t) > \varepsilon > 0$, значит траектория $x_{a'}$ неминуемо выйдет за границу примерно в тот же момент времени. Если же $\dot x(t)=0$, то всё определяется второй производной, которая в силу условия $f(t,1,0)>0$ строго больше нуля - $x_{a'}$, опять же, выйдет за границу $x=1$. При этом исходная траектория в силу её непрерывности отделима от другой границы, $x=-1$, значит в достаточно малой окрестности и $x_{a'}$ не подойдёт к этой границе. Всё это доказывает, что $a' \in D_+$.
Мы получили, что $[0,1]=D_- \cup D_+$, $D_- \cap D_+ = \varnothing$, причём оба множества $D_-$ и $D_+$ - открытые и непустые в силу $-1 \in D_-$, $1 \in D_+$. Но это невозможно - достаточно хотя бы рассмотреть $\sup D_-$.

[Munin]

Рассматривать траектории вообще незачем. Достаточно рассмотреть отображение начального положения на конечное. По предположению, оно непрерывно, и очевидно, $\tfrac{\pi}{2}\mapsto\tfrac{\pi}{2},$ $-\tfrac{\pi}{2}\mapsto-\tfrac{\pi}{2}.$ Значит, найдётся и точка, отображённая на любое промежуточное конечное положение.

[Dave]

Munin в сообщении #547837 писал(а):

Рассматривать траектории вообще незачем. Достаточно рассмотреть отображение начального положения на конечное. По предположению, оно непрерывно, и очевидно, $\tfrac{\pi}{2}\mapsto\tfrac{\pi}{2},$ $-\tfrac{\pi}{2}\mapsto-\tfrac{\pi}{2}.$ Значит, найдётся и точка, отображённая на любое промежуточное конечное положение.

А где здесь используется то, что $f(t,1,0)>0, f(t,-1,0)<0$ ?

[Munin]

А это просто бред. Я и не вчитывался, пока вы не указали. Я говорил про маятник Уитни, а не про дикую постановку задачи, которую выдумал Oleg Zubelevich по его мотивам.

[Oleg Zubelevich]

Dave
у меня практически такое же решение, но все-таки надо написать аккуратно

Доказательство.

Рассмотрим решение уравнения (*) $x(t,\xi)$ такое, что $\dot x(0,\xi)=0,\quad x(0,\xi)=\xi\in [-1,1]$. Введем функции $\tau_\pm(\xi)=\min\{t\ge 0\mid x(t,\xi)=\pm 1\}.$

Через $D_\pm$ обозначим области определения функций $\tau_\pm$.

Лемма. Множества $D_\pm$ открыты в топологии отрезка $[-1,1]$.

Утверждение теоремы следует сразу из этой леммы. Поскольку, как всякое топологическое пространство, отрезок замкнут, он не может являться объединением двух открытых множеств. Поэтому на отрезке найдутся точки, не принадлежащие $D_+\cup D_-$. Каждая такая точка есть начальное условие для искомого рещения.

Докажем лемму. Проверим, что множество $D_+$ открыто. (С $D_-$ рассуждения аналогичны)
Пусть сначала $\xi_0\in D_+\cap (-1,1)$. Тогда $\tau_+(\xi_0)>0$. Проверим, что $\dot x(\tau_+(\xi_0),\xi_0)\ne 0$.
Действительно, предположим, что $\dot x(\tau_+(\xi_0),\xi_0)= 0$. Тогда в силу уравнения (*) будет $\ddot x(\tau_+(\xi_0),\xi_0)> 0$. Это значит, что точка $\tau_+(\xi_0)$ является локальным минимумом для функции $x(t,\xi_0)$, но это противоречит определению $\tau_+$.
Поэтому по теореме о неявной функции, из уравнения $x(\tau_+(\xi),\xi)=1$ функция $\tau_+(\xi)$ определена в окрестности точки $\xi_0$.

Пусть теперь $\xi_0=1\in D_+$. Надо проверить, что при малом $\varepsilon>0$ будет $(1-\varepsilon,1]\subset D_+$.
Из уравнения $x(t,\xi)=\xi+f(0,\xi,0)t^2/2+\mu(t,\xi)=1,\quad |\mu(t,\xi)|\le ct^3\quad t\to 0$ находим

$$\tau_+(\xi)=\sqrt{2\frac{1-\xi}{f(0,\xi,0)}}(1+o(1)),\quad \xi\to 1.$$

ЧТД

[Oleg Zubelevich]

там, кстати, у меня дыра в доказательстве, а у Dave -- ошибка, или тоже дыра.
. Так что задача остается.

[scwec]

Есть ли уверенность, что исходная теорема справедлива?

[Oleg Zubelevich]

scwec
Да, есть. И доказательство правильное я знаю.

[Oleg Zubelevich]

Вообще если правильно суммировать то, что написал я и то , что написал Dave как раз полное доказательство и выйдет

[scwec]

Видимо, теорема верна. Тут ведь какое сомнение было: достижение границы $x=\pm1$ за конечное время всегда - тогда лемма верна.
Ассимптотическое стремление к ней - тогда лемма, может, и не верна. Но тогда сама траектория из коридора не выходит.
Как-то вот так.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #553795 писал(а):

Тут ведь какое сомнение было: достижение границы $x=\pm1$ за конечное время всегда - тогда лемма верна.

От противного: предположим все решения выходят на границу за конечное время, тра-ля-ля, противоречие.

-- Пт мар 30, 2012 15:33:11 --

но вот здесь чепуха:

Oleg Zubelevich в сообщении #548040 писал(а):

Поскольку, как всякое топологическое пространство, отрезок замкнут, он не может являться объединением двух открытых множеств

поэтому надо комбинировать то, что Dave написал и то что я. Но у меня есть просто другое доказательство.

-- Пт мар 30, 2012 15:36:48 --

а у Dave нет доказательства того, что $D_\pm$ открыты

[scwec]

У Вас ведь если $x=x(x_0,0,t)$ достигает $x=1$, то все траектории из достаточно малой окрестности $x_0$ с $\dot {x_0}=0$ делают то же самое?

[sup]

А мне кажется, что Dave уже все обосновал. Я бы обратил внимание на следующие высказывания

Dave в сообщении #547828 писал(а):

Тогда все начальные положения разобьются на два множества - $D_-$ и $D_+$ - соответственно те, при которых первое достижение границы $|x|=1$ происходит в точке $x=-1$ и те, где оно происходит в точке $x=1$ (мы рассматриваем только решения, удовлетворяющие условию $\dot x(0)=0$).
...
...
Дальше применяем непрерывную зависимость решения и его производной от начального положения.
...
...
При этом исходная траектория в силу её непрерывности отделима от другой границы, $x=-1$, значит в достаточно малой окрестности и $x_{a'}$ не подойдёт к этой границе. Всё это доказывает, что $a' \in D_+$.

[scwec]

Да вот насчет отделимости как то не очень.