Множества уровня вогнутой функции

[Nimza]

Рассмотрим произвольную вогнутую функцию $f(x) \colon \mathbb{R}^n_{+} \to \mathbb{R}_+$. Какими свойствами обладают её множества уровня? Какие новые свойства добавятся, если сделать функцию положительно однородной степени 1?

Как, например, показать, что для такой вогнутой функции $f(x)$ найдётся единственное число $r \geqslant 0$ такое, что множество уровня $\{ x \mid f(x) = r \}$ будет касаться шара $B_{1}(0) \cap \mathbb{R}^n_+$ (в единственной точке)?

[мат-ламер]

Nimza в сообщении #553459 писал(а):

Какими свойствами обладают её множества уровня?

Множество уровня будет границей выпуклого множества.

Nimza в сообщении #553459 писал(а):

Как, например, показать, что для такой вогнутой функции ...

Вогнутая функция $f(x)$ достигает максимума на строго выпуклом множестве (границе шара) в единственной точке, в которой и будет касание.

-- Чт мар 29, 2012 21:14:25 --

мат-ламер в сообщении #553532 писал(а):

Вогнутая функция достигает максимума на строго выпуклом множестве (границе шара) в единственной точке, в которой и будет касание.

Ерунду написал. Лёгкий контрпример очевиден для $f=-x^2-y^2$.

[Nimza]

Да и граница шара не выпукла.

Ещё один вопрос вдогонку задам, связанный с первым. Рассмотрим семейство вогнутых функций $g_{\omega}(x) = f(\omega_1 x_1, ..., \omega_n x_n)$, где $\omega \in \mathbb{R}^n_+$. Для любой ли точки на единичной сфере найдётся такая $\omega$, что $g_{\omega}(x)$ будет касаться сферы в этой точке?

[MaximVD]

Простой факт, но всё же. Множество $\{ x \mid f(x) = r \} \cap \mathbb{R}^n_{++}$ замкнуто в $\mathbb{R}^n_{++}$ с топологией, унаследованной из $\mathbb{R}^n$. Здесь $\mathbb{R}^n_{++}$ - множество векторов у которых все координаты строго положительны.
Множество уровня вогнутой функции устроены достаточно сложно, но всё-таки кое-что о них сказать можно (не знаю насколько такой ответ вас устроит). Пусть функция $f$ непрерывна и множество уровня $\{ x \mid f(x) = r \}$ не пусто, тогда определим функцию $g \colon \mathbb{R}^{n-1}_+ \to \mathbb{R}_+ \cup \{ + \infty \}$ по следующему правилу: если $x \in \{ x \mid f(x) = r \}$, то $g(x_1, \ldots, x_{n-1}) = \min\{ y \mid f(x_1, \ldots, x_{n-1}, y) = r \}$ и $g(x_1, \ldots, x_{n-1}) = +\infty$, если для любого $y \ge 0$ будет $f(x_1, \ldots, x_{n-1}, y) \ne r$. Можно доказать, что множество $\operatorname{dom} g$ - выпукло и функция $g$ тоже выпукла. Естественно, тоже самое можно проделать с любой другой координатой.