Наибольшее и наименьшее значение функции

[keksman]

Привет всем.
Не могу решить задачу. Нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции в области.
Вот то что нам дано:

функция: $z=x^{2}+y^{2}-12x+16y$
Область: $D=\left\{ \left( x;y \right):\; x^{2}+y^{2}\leq 25 \right\}$

1) Нашел очевидную стационарную точку.
Решил систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{cc} \frac{\partial z}{\partial x}=0 & \; \\ \frac{\partial z}{\partial y}=0 & \; \end{array}\right$
Точка получается с координатами $(6; -8)$ , но она не входит в нашу область $D$

2) По теореме Вейерштрасса функция достигает наибольшего и наименьшего значения в этой области.
Но как их найти?
когда нам область задана прямыми, то там вроде бы ясно как действовать. А тут как?

Спасибо!

[мат-ламер]

Если стационарная точка не принадлежит области, то возникает подозрение, что максимум и минимум лежит на границе области. Фамилия "Лагранж" Вам ничего не говорит?

[keksman]

Ну что-то говорит:)
Первое что пришло в голову это метод Лагранжа для нахождения экстремума при заданном условии.
Ну я про его функцию:
$L\left( x_{1}...x_{n};\; \lambda _{1}...\lambda _{k} \right)=z\left( x_{1}...x_{n} \right)±\sum_{i=1}^{k}{\lambda _{i}\cdot \phi _{i}\left( x_{1}...x_{n} \right)}$

Но как ее использовать?
функция нам дана. А какое уравнение связи использовать?

Решать вот так?:

$L=x^{2}+y^{2}-12x+16y-\lambda \left( x^{2}+y^{2}-25 \right)$

[Алексей К.]

Да.

[keksman]

А вы не могли бы объяснить почему? :)

[svv]

Нет, это Вы объясните, почему.
keksman, это просто, а Вы догадливы. Вы за минуту поймёте. Прочтите первую фразу из сообщения мат-ламера, это подсказка.

[Алексей К.]

keksman,

с тех пор, как Вы поняли, что искомые экстремумы лежат на границе области, задачка становится совсем простой.
У Вас окружность $x=5\cos\varphi$, $y=5\sin\varphi$, и этот угол однозначно определяет точку $(x,y)$ и значение функции $z(x,y)$. По сути, $z$ становится функцией одной переменной $\varphi$, экстремумы легко ищутся без всяких Лагранжей.

keksman в сообщении #553569 писал(а):

А вы не могли бы объяснить почему?

Так сразу не могу. У меня эти слова почему-то не задерживаются в голове. Но решив задачку двумя способами, я, наверное, в очередной раз сразу пойму, почему предложенный выше способ и метод множителей Лагранжа эквивалентны.