Рекуррентна формула, которая меняется колоколообразно?

[Dims]

Подскажите рекуррентную формулу, вычислимую на компьютере без навороченных математических библиотек, которая бы менялась от 1 до 0 (полу)колоколообразно, то есть, сперва была близка к 1, а потом падала бы к нулю почти экспоненциально.

[svv]

Я бы посоветовал использовать простую явную формулу, но, как говорится, хозяин -- барин.
Вот, например:

Используется синтаксис C++

const int N=50;
double a[N];
const double c=300, k=3;
a[0]=1;
for (int n=1; n<N; ++n)
   a[n]=a[n-1]*(n+c)/(k*n+c);
 

Поварьируйте константы $c$ и $k$.
При малых $n$ коэффициент уменьшения близок к единице, при больших стремится к константе $k$, что и соответствует экспоненциальному убыванию.

[Евгений Машеров]

$x_n=x_n(x_n+a)/2$
a<1

[ewert]

$y'(x)=y(y-1)$, общее решение: $y(x)=\dfrac1{1+e^x}$ (при $y_0\in(0;1)$).

Дискретный аналог: $y_{n+1}-y_n=y_n(y_n-1)$, т.е. $y_{n+1}=y_n^2$. Качественное поведение на бесконечностях -- такое же (только на плюс бесконечности сходимость более быстрая, чем на минус, но это при желании легко подправить).

[profrotter]

1. Колокольчик имеется в каждой строчке треугольника Паскаля.

2. Применяем $M$ раз алгоритм скользящего среднего длиной $L$ к единичному отсчёту:

$$x(n)=\delta(n)=\begin{cases}1,n=0\\ 0,n\neq 0\\\end{cases}$$

$$y_1(n)=x(n)-x(n-L)+y_1(n-1)$$

$$y_2(n)=y_1(n)-y_1(n-L)+y_2(n-1)$$

$$...$$

$$y_M(n)=y_{M-1}(n)-y_{M-1}(n-L)+y_M(n-1)$$

Задавая различные значения $M$ и $L$ можно получить много-много разных колокольчиков в том числе и очень похожих на гауссиан (при больших $M$). Очевидное достоинство в отсутствии умножений при вычислениях. Пример колокольчика при $L=10,M=20$:

[Dims]

ewert в сообщении #553794 писал(а):

Дискретный аналог: $y_{n+1}-y_n=y_n(y_n-1)$, т.е. $y_{n+1}=y_n^2$.

Круто! Не пойму только, как регулировать расположение перехода! Начинаю с 0.999999999, переход попадает на 30, начинаю с 0.999999999999999999 -- переход попадает на 42. Допустим, я хочу сделать переход на 1000. Это сколько ж мне девяток надо нарисовать?

И будет ли это считаться на обычных числах double?

[ИСН]

Разбавить это иксом в нужной пропорции, вот и вся регулировка. $x_{n+1}=0.9x_n+0.1x_n^2$, делов-то.