Помогите с интегралом

[dasterse]

$\int \frac {\cos^3{x}dx}{\sin^3{x}+\cos^3{x}}$
замена t=tgx $\int \frac {dx}{1+t^3}$.Заменяем dx
$\int \frac {dt}{(1+t^3)(1+t^2)}$. Пытался разложить на сумму простых дробей и ничего не вышло.

[INGELRII]

А че так, не вышло-то? Разложите в знаменателе множитель $1+t^3$ на более простые множители и повторите попытку. Этот самый метод, разложения на простые слагаемые, он ведь универален. Не существует такой алгебраической дроби от одной переменной, которую нельзя было бы разложить. Значит, и вашу можно.

[dasterse]

$\int \frac {(1+t-t)dt}{(1+t)(t^2-t+1)(1+t^2)}$=$\int \frac {dt}{(t^2-t+1)(1+t^2)}$-$\int \frac {tdt}{(1+t^3)(1+t^2)}$=
=$\int \frac {(-t+1)dt}{(t^2-t+1)}$+$\int \frac {tdt}{(1+t^2)}$-$\int \frac {tdt}{(1+t^3)(1+t^2)}$ дальше тупик

[ИСН]

Уберите пока что крючочек, он мешает. Сначала разложите.

[INGELRII]

Ну дык в последнем интеграле в знаменателе стоит $1+t^3$. Прежде всего скажите, можно ли эту штуку разложить на множители (в скобках: да, конечно можно). Если можно, то сделайте это! И запишите, что получилось. После этого продолжим разговор. И да, пишите пока без крючочков. Мы к ним всегда успеем вернуться. Пока вам надо раскидать подинтегральное выражение на сумму простейших дробей, предлагаю этим и заняться.

Самое первое действие, которое вам надо совершить: разложить на множители $1+t^3$. Я верю, что вы с этим справитесь.

Собственно, я вижу, что вы не то что можете разложить. Вы это уже неявно делали на одном из прежних этапов, и зачем-то "упростили" знаменатель к виду ... к такому, в каком он сейчас. Этого делать не надо было. Это вы не упростили, а усложнили задачу.

[dasterse]

Получилось
$ \frac {(-t+1)dt}{(t^2-t+1)}$+$ \frac {tdt}{(1+t^2)}$-$ \frac {dt}{6(t+1)}$+$ \frac {((-1/3)*t+2/3)dt}{(t^2-2+1)}$+$ \frac {(1/2*t-1/2)dt}{(1+t^2)}$

-- 29.03.2012, 18:52 --

ура,решил!INGELRII,спасибо)

[INGELRII]

Вооот. Гораздо лучше. Что могу сказать: во-первых, на всякий случай проверьте. Просуммируйте все это обратно, в одну дробь и убедитесь, что получилось то же самое, что было изначально. Во-вторых, у вас первое слагаемое и четвертое - с одинаковыми знаменателями. Их лучше бы сложить между собой. То же самое про второе и пятое слагаемое.

Хотя можно и оставить как есть, если совсем лень упрощать.

Теперь всю эту радость надо уже проинтегрировать.