Группа симметрий додекаэдра

[xmaister]

Как найти группу симметрий додекаэдра?

[ИСН]

Обычно начинают с тетраэдра и куба, чтобы насобачиться.

[мат-ламер]

Для начала можно почитать Александрова П.С. Введение в теорию групп. п. 5.6.

[xmaister]

Для тетраэдра нашёл только, что множество изометрий, если одна точка переходит в себя с операцией композиции изоморфно $\operatorname{Sym}(3)$. А как всю группу найти и доказать, что других изометрий не будет не ясно.

[ИСН]

Что значит "одна точка переходит в себя"? Одна точка (центр) всегда переходит в себя, это лишнее уточнение.
Что такое Sym(3)? Если то же самое,что $S_3$, то почему так мало? Там одних поворотов должно быть 12, а с отражениями - 24.

[Munin]

Преобразование симметрии переводит вершину в вершину, исходящее из неё ребро - в ребро, и соседствующую с ними грань - в грань. Весь остальной многогранник в этом случае совмещается с собой, потому что правильный.

[xmaister]

Munin в сообщении #553060 писал(а):

Что такое Sym(3)?

Группа движений треугольника. Я так рассуждал: Группа изометрий, таких что $g(A_i)=A_i$, где $A_i$- произвольная вершины изоморфна группе движений треугольника. Так можно для четырёх вершин эти группы найти, но только толку от этого, походу, не много. Их всяко меньше 24.

Munin в сообщении #553060 писал(а):

Преобразование симметрии переводит вершину в вершину, исходящее из неё ребро - в ребро, и соседствующую с ними грань - в грань. Весь остальной многогранник в этом случае совмещается с собой, потому что правильный.

Это я понимаю, и понятно, какие должны быть эти 24 движения. Как теперь доказать, что других не будет?

[Munin]

xmaister
Когда цитируете, не промахивайтесь по кнопкам, иначе цитата из одного собеседника будет приписана другому собеседнику.

xmaister в сообщении #553076 писал(а):

Это я понимаю, и понятно, какие должны быть эти 24 движения. Как теперь доказать, что других не будет?

Если у вас есть движение, переводящее вершину не в вершину, то некоторая точка (вершина) оказывается переведённой из многогранника не в многогранник. Если вы вершину переводите в вершину, но ребро - не в ребро, то некоторая точка... и так далее.

[мат-ламер]

xmaister в сообщении #553076 писал(а):

Группа движений треугольника.

Это общепринятый термин? Что это значит? Как выразить её через известные элементарные группы? Я слышал о группе вращений треугольника и о группе симметрий треугольника. По-моему начать нужно с треугольника, затем перейти к квадрату, а затем уже браться за куб и октаэдр.

[ИСН]

Сводить группу симметрий к перестановкам на множестве вершин - оно круто, кнчн, но на кубе уже не прокатит. То есть формально прокатит в том смысле, что всё равно любая симметрия - это какая-то перестановка вершин, но вот обратное уже - - -

[xmaister]

А, т.е. для тетраэдра перестановка вершин- симметрия, тогда группа симметрий изоморфна $S_4$.

ИСН в сообщении #553342 писал(а):

но на кубе уже не прокатит

А как тогда?

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #553119 писал(а):

Это общепринятый термин? Что это значит?

Ну группа симметрий треугольника, группа диэдра или как там её правильно называть?

[ИСН]

Как хотите. Я обычно представляю все эти оси (2, 3, у куба также 4, а у икосаэдра - 5 порядка), как они там переплетаются и друг друга порождают. Но у Вас другой background, так что может оказаться, что лучше подойдёт какая-нибудь другая визуализация.

[xmaister]

ИСН
, спасибо. Смысл вроде понятен. Но возник вопрос: У каких правильных $n$-гранников группа симметрий изоморфна $S_n$. Есть ли такие кроме тетраэдра?

[ИСН]

Взять да перебрать, их ведь всего три (потому что у двойственных одна и та же группа); ну, с подгруппами - семь. Про тетраэдр Вы уже знаете. У куба и октаэдра группа порядка 48, так что это не то. У икосаэдра и додекаэдра - порядка 120, но это не $S_5$. Правда, их группа вращений (без отражений), которая порядка 60, изоморфна $A_5$.

[Munin]

ИСН в сообщении #553342 писал(а):

Сводить группу симметрий к перестановкам на множестве вершин - оно круто, кнчн, но на кубе уже не прокатит. То есть формально прокатит в том смысле, что всё равно любая симметрия - это какая-то перестановка вершин, но вот обратное уже - - -

А кто и где предлагал обратное?