Численное решение системы ОДУ

[Sboy]

Всем добрый день.

Подскажите пожалуйста, у меня дано диференциальное уравнение:
$u''+ {\alpha} ^ {2} \sin(u) = \beta \sin(x)$
и начальные условия в виде условия периодичности:
$u(0)=u(2 \pi); u'(0)=u'(2 \pi)$
Нужно решить его численно при помощи метода Рунге-Кутта. Все впринципе замечательно при ${\alpha}^{2}$
Перехожу к системе уравнений и можно "в лоб" использовать метод. Но непонятно как использовать начальные условия в таком виде в каком они даны. ктонибудь может подсказать что с ними делать?

Заранее спасибо.

[Yu_K]

Задача "перенедоопределенная" - если бы все коэффициенты были известны - но тут видимо нужно их найти, что бы выполнялось условие периодичности. Обычно для краевых задач используют метод типа прогонки - в данном случае, раз стоит в задании РК - пробуйте что-то типа "метода стрельбы" - подбирая \alpha, \beta $, так что бы удовлетворялись условия периодичности. И смотрите траектории в фазовой плоскости - там нужно найти замкнутую кривую. Ну естественно встанет проблема выбора начальных значений $y(0),y'(0)$, кроме выбора коэффициентов уравнения.

И еще можно численно построить точки поверхности $F(\alpha,\beta) =(y(0, \alpha,\beta)-y(2\pi, \alpha,\beta))^2+(y'(0, \alpha,\beta)-y'(2\pi, \alpha,\beta))^2$ и искать где у нее нули. Или пов-ти типа $F(\alpha,\beta) =\ln((y(0, \alpha,\beta)-y(2\pi, \alpha,\beta))^2+(y'(0, \alpha,\beta)-y'(2\pi, \alpha,\beta))^2)$.

Для начала можно посмотреть простую подобную задачу - где известно точное решение - например заменить синус в левой части - на $y$.

[Sboy]

При ${\alpha}^{2}<1$ решение задачи с периодическими Н.У. $! \exists$ для $\forall \beta$(Свойство этого уравнения). Т.е. надо полагать что условие периодичности будет выполняться всегда, только туманна судьба решения при ${\alpha}^{2}>1$, когда решение может быть не единственно, там п овидимому, надо будет уже подбирать $\alpha$ руками...
Спасибо за идею, вродибы "метод стрельбы" мне подходит, осталось только понять какие значения брать за начальные значения функции(рандомные брать думаю не очень хорошо будет).

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B25sin%28y%29%3Dcos%28t%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D1+ - похоже можно найти переодические решения - и конечно вопрос единственности встанет.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B0.25sin%28y%29%3Dcos%28t%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D1+ - что-то не походит на то что при альфа меньших 1 есть периодическое решение - что за это свойство на которое Вы ссылаетесь?

Подобную задачку когда то решали - там получалось несколько решений - но тогда были известны все коэффициенты в задаче и варьировались только начальные условия в точке 0 и сначала строилась пов-ть вида $F(y(0),y'(0))$ для суммы квадратов разности функции и производных в начале и в конце интервала $0-2\pi$ в зависимости от нач. данных.

[Sboy]

Пардон, в первом посте не указал этого, в задании было указанно: "Если ${\alpha}^{2}<1$, решение краевой задачи $u(0)=u(2\pi), u'(0)=u'(2\pi)$ существует и единственно $\forall \beta$ если ${\alpha}^{2}>1$ то существует хотябы одно решение для $\forall \beta$". Из чего впринципе следует что решение должно быть периодическим.

[Yu_K]

Очень интересно - откуда это взялось -

Sboy в сообщении #553305 писал(а):

"Если ${\alpha}^{2}<1$, решение краевой задачи $u(0)=u(2\pi), u'(0)=u'(2\pi)$ существует и единственно $\forall \beta$, если ${\alpha}^{2}>1$, то существует хотя бы одно решение для $\forall \beta$".

Посчитал варианты $\alpha=2,\beta=1$ там действительно нашлась пара различных решений краевой задачи.

[Sboy]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 280%29%3D3
вобще при $\alpha<1$ тоже отдаленно напоминает чтото периодическое, но не с периодом $2\pi$.

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2By%3D0%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D1 - вот пример периодического решения - замкнутая кривая на фазовой плоскости - вот такие Вам нужно искать. А то что Вы привели - отнюдь не периодическое решение....

[Sboy]

Да, был не прав, не учел что рассматриваю фазовую плоскость $(y,y')$.