Посчитать вычеты в особых точках

[obar]

Можно просто заметить, что вычет в бесконечности на меняется при замене $z\rightarrow z+a$, так что вы можете рассмотреть функцию $(z+1)e^{1/z}$. У нее вычет такой же.

[samson4747]

Разложение $\dfrac{1}{z-1}$ в бесконечно удалённой точке, имеет вид $\dfrac{1}{z}\dfrac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n-1)!}\dfrac{1}{z^n}$, теперь разложите $exp$

-- 28.03.2012, 23:24 --

Можно сделать проще, разложить $\displaystyle{e^{\frac{1}{z-1}}}$ рассматривая $z=1$, получим $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\dfrac{1}{(z-1)^n}$, а $z$ перед $exp$ представить в виде $(z-1)+1$ почленно перемножив получите два ряда, затем выпишите первые члены ... . . . пользуясь тем что $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_1\,f(z)=c_{-1}$ получите желаемое, в бесконечно удалённой точке примените либо $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\infty}\,f(z)=-c_{-1}$, либо теорему о полной сумме вычетов.

[samson4747]

Ухожу спать, но хочу отметитьВаш ответ $\dfrac{3}{2}$ верный, а в бесконечности, по теореме о полной сумме вычетов будет $-\dfrac{3}{2}$, либо в ряд Лорана когда разложите там будет коэффициент $\dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{(n+1)!}$ перед $\dfrac{1}{(z-1)^n}$, т.е. при $n=1$ имеем коэффициет $c_{-1}$, а дальше используем: $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\infty}\,f(z)=-c_{-1}$ и $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{1}\,f(z)=c_{-1}$.