Задачка на Лагранжиан

[Bulinator]

Yong-Geun Oh," Symplectic Topology and Floer Homology"(pdf файл)

[srm]

Bulinator, спасибо. То, что нужно.

[ИгорЪ]

Охренеть. Это ж настольная книга струнной элиты! Я снимаю шляпу....

[Ales]

Может, так вводить импульсы:

Предположим, интересны экстремали для $\int L(q,\frac {dq} {dt})dt$.
Формула с условием выглядит ужасно :( , а мы хотим, чтобы дифференциалы входили в выражение только линейно.
Для этого введем новые величины $v$: $dq = v dt$.
Получаем экстремали для $\int L(q,v)dt$, при условии на дифференциалы $dq = v dt$.

Чтобы избавиться от условий используем метод множителей Лагранжа:
получаем, что это экстремали для $\int L(q,v)dt+p(dq-vdt) = \int pdq - (pv-L(q,v))dt$.

Итак импульсы - это множители Лагранжа.
Теперь осталось только избавиться от лишних переменных: $v$.
Проварьируем выражение по $v$: $p-\frac {\partial L}{\partial v}=0$.

Итак получаем экстремали для $\int pdq - (pv-L(q,v))dt$, при условии $p=\frac {\partial L}{\partial v}$.

Если $\frac {\partial^2 L}{\partial v^2}$ невырождена, то можно выразить $v$ через $p$ и подставить в $(pv-L(q,v))=H(q,p)$.

Получаем экстремали для $\int pdq - H(q,p)dt$, или что тоже самое экстремали для $\int pdq$ при постоянной энергии $H(q,p).$

[Bulinator]

srm в сообщении #552714 писал(а):

То, что нужно.

В этой суматохе главную самую-самую книгу забыли:
Арнольд, "Математические методы классической механики".

-- Вт мар 27, 2012 21:27:06 --

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #552802 писал(а):

Охренеть. Это ж настольная книга струнной элиты! Я снимаю шляпу....

И не такое встретишь на земле нашей грешной

[Ales]

srm в сообщении #552620 писал(а):

Спасибо за литературу. Меня интересует связь классической механики с движением в искривлённых многообразиях. К сожалению, диф геометрию я знаю плохо. Хотелось бы, чтобы в книге изложение материала по диф геометрии и по механике шло параллельно (как, например, в книге "Гравитация").

Почитайте В. Козлова: Задача Кеплера в пространстве постоянной кривизны.

Интересно, что в пространстве Римана (положительная кривизна) и Лобачевского (отрицательная кривизна) орбиты планет - конические сечения. А эллипсы в Евклидовом пространстве - это частный случай.

[Утундрий]

Ales в сообщении #552836 писал(а):

Задача Кеплера в пространстве постоянной кривизны

Можно в двух словах, как там вводятся силы?

[Ales]

Утундрий в сообщении #553224 писал(а):

Ales в сообщении #552836 писал(а):

Задача Кеплера в пространстве постоянной кривизны

Можно в двух словах, как там вводятся силы?

Гравитационный потенциал такой, что дивергенция градиента равна плотности.