Каково дальнейшее решение несобственного интеграла?

[Tkas]

$ \int_e^4 \frac{dx}{ x(ln ^{2} x - lnx) } = | lnx=t, ln ^{2}=t ^{2}, dt= \frac{dx}{x} | = \int_e^4 \frac{dt}{t ^{2} - t } = \int_e^4 \frac{dt}{t(t-1)} = \int_e^4 (\frac{1}{t} dt - \frac{1}{t-1} dt ) = \lim_{t \rightarrow ?} (ln(t) - ln(t-1))$
Я правильно решал? К чему будет стремиться t (и почему)?

[svv]

Если $x$ менялось в пределах от $e$ до $4$, то $t=\ln x$ -- уже в каких-то других. И в каких?

[Tkas]

svv в сообщении #552665 писал(а):

Если $x$ менялось в пределах от $e$ до $4$, то $t=\ln x$ -- уже в каких-то других. И в каких?

[svv]

Tkas, что опечалились? Вопрос трудный, или решение уже отослано куда-нибудь, и его уже не исправить?

А вот посмотрите, какой можно рисовать красивый логарифм: $\ln$. Пишите \ln, и у Вас так же будет.

[Tkas]

svv в сообщении #552670 писал(а):

Tkas, что опечалились? Вопрос трудный, или решение уже отослано куда-нибудь, и его уже не исправить?

Вопрос трудный)

[svv]

$\int \limits_e^4 ...dx$ -- это на самом деле $\int \limits_{x=e}^{x=4} ...dx$, если писать подробно.
А Ваша формула $t=\ln x$ показывает, как, зная $x$, найти $t$.
Поэтому после замены будет $\int \limits_{t=...}^{t=...} ...dt$
Догадались, на что я намекаю? Самое простое.

[Tkas]

svv в сообщении #552673 писал(а):

$\int \limits_e^4 ...dx$ -- это на самом деле $\int \limits_{x=e}^{x=4} ...dx$, если писать подробно.
А Ваша формула $t=\ln x$ показывает, как, зная $x$, найти $t$.
Поэтому после замены будет $\int \limits_{t=...}^{t=...} ...dt$
Догадались, на что я намекаю? Самое простое.

Но ln4 это нечто ужасное!

[svv]

Есть в математике для таких случаев гениальный прием: ничего не делать. Вместо $\ln 4$ писать $\ln 4$ .
Этой записью данное число полностью определяется, а математику больше ничего не надо.

Аналогично, Вы наверняка видели, пишут $\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt 2}2$. И всем всё ясно.
Никто вместо этого не пишет $\sin 0.78539816339744830961566084581988 = 0.70710678118654752440084436210485$.
Где можно упростить -- там упрощаем. Где нельзя -- значит, нельзя.

[Tkas]

svv
Ну и хорошо, что так)
$ln(ln4) - ln(0) = ln(ln4) - (-\infty) $
Так?

[svv]

Ээ... Моя задача только добиться, чтобы после подстановки $t=\ln x$ у Вас в интеграле
$\int\limits_{t=...}^{t=...} \frac{dt}{t ^{2} - t }$
были записаны правильные пределы. Вы, похоже, их нашли:
нижний предел: $t=\ln e=1$
верхний предел: $t =\ln 4$

(Оффтоп)

В советское время был анекдот.

Пионер помог старушке дойти до середины проезжей части и говорит:
-- А дальше, бабушка, вы сами.
-- А что же ты, сыночек, дальше мне не поможешь?
-- А дальше не наша зона пионерской ответственности.

[Tkas]

svv в сообщении #552681 писал(а):

Ээ... Моя задача только добиться, чтобы после подстановки $t=\ln x$ у Вас в интеграле
$\int\limits_{t=...}^{t=...} \frac{dt}{t ^{2} - t }$
были записаны правильные пределы. Вы, похоже, их нашли:
нижний предел: $t=\ln e=1$
верхний предел: $t =\ln 4$

Так оно и есть, спасибо) Просто ответ некрасивый выходит... Получается $+\infty$, интеграл расходится, так?

[svv]

Хоть (см. оффтоп в моём предыдущем сообщении), ещё один момент.

Вот это
$\frac 1 {t(t-1)}$
равно не этому
$\frac 1 t - \frac 1 {t-1}$
а вот этому
$\frac 1 {t-1}-\frac 1 t $
Чтобы убедиться в этом, приведите оба варианта к общему знаменателю и посмотрите, какой из них даст первоначальное выражение $\frac 1 {t(t-1)}$.

[Tkas]

svv в сообщении #552686 писал(а):

Хоть (см. оффтоп в моём предыдущем сообщении), ещё один момент.

Вот это
$\frac 1 {t(t-1)}$
равно не этому
$\frac 1 t - \frac 1 {t-1}$
а вот этому
$\frac 1 {t-1}-\frac 1 t $
Чтобы убедиться в этом, приведите оба варианта к общему знаменателю и посмотрите, какой из них даст первоначальное выражение $\frac 1 {t(t-1)}$.

Ух ты, спасибо! Впредь буду внимательнее.
$ln(t-1) - ln(t) = ln(ln4-1) - 0 = ln(ln4-1)$ интеграл сходится

[svv]

Постойте, постойте. Нет, не сходится. Тот Ваш вывод был правильным. Что принципиально изменилось?
Чтобы не сомневались:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 9%29%29+dx
(американцы через $\log$ обозначают $\ln$)

Этот интеграл расходящийся, причина в нём:
$\int\limits_1^{\ln 4} \frac{dt}{t-1} = \left.\ln(t-1)\right|_{1}^{\ln 4}$
Расходится на нижнем пределе: $\lim\limits_{t\to1+0}\ln(t-1)$ не существует.

[Tkas]

svv в сообщении #552691 писал(а):

Постойте, постойте. Нет, не сходится. Тот Ваш вывод был правильным. Что принципиально изменилось?
Чтобы не сомневались:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 9%29%29+dx
(американцы через $\log$ обозначают $\ln$)

Этот интеграл расходящийся, причина в нём:
$\int\limits_1^{\ln 4} \frac{dt}{t-1} = \left.\ln(t-1)\right|_{1}^{\ln 4}$
Расходится на нижнем пределе: $\lim\limits_{t\to1+0}\ln(t-1)$ не существует.

$ln(t)$ а почему вы его не учли?