Производная в пространстве Лебега

[Marina Melnikova]

Подскажите, пожалуйста, что происходит с функцией, если ее производная принадлежит $L_1$? Принадлежит ли она $L_1$, либо $L_2$? Спасибо.

[ewert]

Marina Melnikova в сообщении #546620 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что происходит с функцией, если ее производная принадлежит $L_1$? Принадлежит ли она $L_1$, либо $L_2$?

Она по определению принадлежит $L_1$. Естественно, лишь локально (вообще говоря). Дальше -- теоремы вложения. В одномерном случае она просто непрерывна. В $d$-мерном случае она принадлежит $L_q$ локально, если $q<\frac{d}{d-1}$ (см., например, http://www.math.msu.ru/department/opu/INTERN/sobolev_embedding_theorem.pdf, теорема 2 на стр. 4).

[Marina Melnikova]

Спасибо. А не могли бы Вы привести точную формулировку этого определения?

[Dan B-Yallay]

Marina Melnikova в сообщении #546696 писал(а):

Re: Производная в пространстве Лебега   Пт мар 09, 2012 12:57:35
Спасибо. А не могли бы Вы привести точную формулировку этого определения?

$L_p $ определениe

[ewert]

Marina Melnikova в сообщении #546696 писал(а):

А не могли бы Вы привести точную формулировку этого определения?

Приводите для себя сами -- что есть по определению обобщённая производная.

[Marina Melnikova]

Спасибо. Надо подумать..

[Marina Melnikova]

Подскажите, пожалуйста, если функция интегрируема по Лебегу, будет ли она ограниченной? Заранее спасибо.

[mihailm]

про ограниченность интегрируемых по Лебегу функций говорить некорректно, правильное понятие существенная ограниченность

[Dan B-Yallay]

Marina Melnikova в сообщении #550060 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, если функция интегрируема по Лебегу, будет ли она ограниченной?

$$\dfrac 1 {\sqrt x} \in L_1(0,1)$$

[Marina Melnikova]

mihailm в сообщении #550067 писал(а):

про ограниченность интегрируемых по Лебегу функций говорить некорректно, правильное понятие существенная ограниченность

Спасибо. А "существенная" - это значит "почти всюду"?

-- 20.03.2012, 10:57 --

Dan B-Yallay в сообщении #550101 писал(а):

Marina Melnikova в сообщении #550060 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, если функция интегрируема по Лебегу, будет ли она ограниченной?

$$\dfrac 1 {\sqrt x} \in L_1(0,1)$$

Спасибо. А если мы берем всё тот же единичный круг $D$, то что можно сказать про функции $f \in L_1(D)$? Может быть, в этом случае они заданы на $D$ и потому ограниченны? Или это не факт?

[Oleg Zubelevich]

Marina Melnikova в сообщении #550267 писал(а):

А если мы берем всё тот же единичный круг $D$, то что можно сказать про функции $f \in L_1(D)$? Может быть, в этом случае они заданы на $D$ и потому ограниченны? Или это не факт?

введите в круге полярные координаты ,рассмотрите функции вида $r^\gamma,\quad \gamma<0$

Marina Melnikova в сообщении #550267 писал(а):

про ограниченность интегрируемых по Лебегу функций говорить некорректно, правильное понятие существенная ограниченность


Спасибо. А "существенная" - это значит "почти всюду"?

$|f(x)|\le c$ п.в.

[Marina Melnikova]

Oleg Zubelevich в сообщении #550316 писал(а):

Marina Melnikova в сообщении #550267 писал(а):

А если мы берем всё тот же единичный круг $D$, то что можно сказать про функции $f \in L_1(D)$? Может быть, в этом случае они заданы на $D$ и потому ограниченны? Или это не факт?

введите в круге полярные координаты ,рассмотрите функции вида $r^\gamma,\quad \gamma<0$

Marina Melnikova в сообщении #550267 писал(а):

про ограниченность интегрируемых по Лебегу функций говорить некорректно, правильное понятие существенная ограниченность


Спасибо. А "существенная" - это значит "почти всюду"?

$|f(x)|\le c$ п.в.

Ага.. Стало быть, если $f \in L_p(D)$, то $|f(z)|^p \le C$ п.в. $D$?..

[Oleg Zubelevich]

Вы меня поняли с точностью до наоборот.
Еще раз:

Oleg Zubelevich в сообщении #550316 писал(а):

введите в круге полярные координаты ,рассмотрите функции вида $r^\gamma,\quad \gamma<0$

[Marina Melnikova]

Спасибо, но не получается.