абелевы группы порядка 32

[tavrik]

1) сколько их - ответ 7.
2) у скольки есть элементы 8 порядка?
32 делится на 8 и $8 = 2^3$
Третья теорема Силова.
дальше что то я запутался уже. хотя ясно что их не одна(потому что иначе 8 давало бы различные остатки а у него есть например 16).
может быть, что их 4?

сколько таких элементов такого порядка есть в группе?

[Sonic86]

tavrik в сообщении #552584 писал(а):

1) сколько их - ответ 7.

Вам это надо доказывать? Если да, то используйте теорему о структуре абелевых групп. Если уже знаете - то найденные группы можно использовать для ответа на 2-й вопрос.
Как использовать 3-ю теорему, Силова я пока не знаю (мне просто кажется, что можно без нее)

[tavrik]

сори, это не теорема Силова - это теорема..хм.."соответствия"?
в общем, 4 их не может быть по определению - так как групп порядка 2, групп порядка 4, групп порядка 8 и групп порядка 16 - нечетное количество....

-- Вт мар 27, 2012 13:06:11 --

а блин, это еще не все...элементы 8 порядка могут быть где - в группах порядка 8 и 16...а где еще?

[Sonic86]

tavrik в сообщении #552584 писал(а):

1) сколько их - ответ 7.

Кстати, правильно.

tavrik в сообщении #552625 писал(а):

элементы 8 порядка могут быть где - в группах порядка 8 и 16...а где еще?

Они есть во всех циклических группах порядка $2^k\geqslant 8$: $8,16,32$.

tavrik в сообщении #552584 писал(а):

сколько таких элементов такого порядка есть в группе?

Для каждой конкретной группы (не более 7 групп) можно дать ответ - может так даже удобнее.

[VAL]

Ключ: $5 = 4+1 = 3 + 2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1$
Поэтому ответы 7 и 4.

[Профессор Снэйп]

Проще всего понять, что любая абелева группа порядка $32$ изоморфна $\mathbb{Z}_{2^{n_1}} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{2^{n_k}}$, где $n_1 + \ldots + n_k = 5$ и $0 \leqslant n_1 \leqslant \ldots \leqslant n_k$. Далее - тупой перебор всех возможных наборов $(n_1, \ldots, n_k)$ с заданными свойствами.

-- Чт мар 29, 2012 08:31:41 --

Собственно, VAL именно это и предложил

[tavrik]

да, спасибо. допер.

кстати, в английской википедии есть списки маленьких групп и есть библиотека с группами до порядка 2000(всего больше чем 423 миллиона групп).
но одна группа там пропущена. это группа порядка 1024. то есть два в десятой степени.
потому что у нее почти 50 миллиардов подгрупп. хе-хе.