Преобразовать уравнение (содержит производные)

[mr.tumkan]

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение.

$ax^2z''_{xx}+2bxyz''_{xy}+cy^2z''_{yy}=0$

$u=\ln x$

$v=\ln y$

Вот попытка

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\cdot \dfrac{1}{ x}=A$

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial v}\cdot \dfrac{1}{ y}=B$

$z''_{xx}=\dfrac{\partial A}{\partial x}=\dfrac{\partial A}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial A}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial u^2}\cdot \dfrac{1}{ x^2}$

$z''_{xy}=\dfrac{\partial B}{\partial x}=\dfrac{\partial B}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial B}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}\cdot \dfrac{1}{xy}$

$z''_{yy}=\dfrac{\partial B}{\partial y}=\dfrac{\partial B}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial B}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2}\cdot \dfrac{1}{y^2}$

Если подставить в уравнение, то получится

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение.

$az''_{uu}+2bz''_{uv}+cz''_{vv}=0$

С ответами не совпадает. А почему?

[AKM]

mr.tumkan в сообщении #552439 писал(а):

$u=\ln x$

$v=\ln u$

$v=\ln y$?

[mr.tumkan]

Да, именно. Я опечатался, спасибо ,что поправили!

[Diom]

Случайно нет ошибки при взятии второй частной производной? (A зависит явным образом от x)

[mr.tumkan]

Diom в сообщении #552463 писал(а):

Случайно нет ошибки при взятии второй частной производной? (A зависит явным образом от x)

Но ведь $\dfrac{\partial A}{\partial x}=\dfrac{\partial A}{\partial u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial A}{\partial v}\cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}$

Когда беру производную $\dfrac{\partial A}{\partial u}$ --- $A$ явным образом не зависит от $x$

[Diom]

А если предположить что имеет место, скажем, вот такой случай: $A = x$ ? Получилось бы по вашей формуле, что $\dfrac{\partial A}{\partial x} = 0$