Производная от вектора.

[m@x]

Можно ли дифференцировать вектор по координатам

$\[\frac{{\partial {\rm{\vec A}}}}{{\partial {x^i}}}\]$?

С одной стороны должно быть

$\[\frac{{\partial {\rm{\vec A}}}}{{\partial {x^i}}} = \frac{{\partial {A^k}}}{{\partial {x^i}}}{\vec e_k} \ne 0\]$.

С другой стороны вектор не должен зависеть от координат

$\[\begin{array}{l} {\rm{\vec A}} = {\rm{\vec A'}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \delta {\rm{\vec A}} = 0 \\ \end{array}\]$ при $\[\delta {x^i} \ne 0\]$.

[svv]

Вектор имеет $n$ компонент, координат тоже $n$. Значит, всевозможных "компонент" $\frac{\partial A^k}{\partial x^i}$ уже $n^2$. Значит, если это и компоненты чего-то, то не вектора точно, и соответствующий инвариантный объект из компонент образуется как-то не так.

Дальше надо понять, для какой цели Вам нужно брать такие производные, в каких координатах Вы это делаете, и от этого зависит осмысленность самого этого действия (возможно, надо находить ковариантную производную, а может, не надо, и т.д.).

[alcoholist]

m@x в сообщении #552289 писал(а):

Можно ли дифференцировать вектор по координатам

вероятно, вектор-функцию (или векторное поле, если угодно)

[m@x]

svv в сообщении #552293 писал(а):

Вектор имеет $n$ компонент, координат тоже $n$. Значит, всевозможных "компонент" $\frac{\partial A^k}{\partial x^i}$ уже $n^2$. Значит, если это и компоненты чего-то, то не вектора точно, и соответствующий инвариантный объект из компонент образуется как-то не так.

Дальше надо понять, для какой цели Вам нужно брать такие производные, в каких координатах Вы это делаете, и от этого зависит осмысленность самого этого действия (возможно, надо находить ковариантную производную, а может, не надо, и т.д.).

Я просто столкнулся с такой проблемой: допустим есть выражение $\[({\nabla _i}{\vec e_l}){u^l}\]$.
Тогда
$\[({\nabla _i}{\vec e_l}){u^l} = {\nabla _i}({\vec e_l}{u^l}) - ({\partial _i}{u^l}){\vec e_l}\]$, где
$\[{\nabla _i}({{\vec e}_l}{u^l}) \equiv {\nabla _i}\vec u\]$.

Хочу понять, если рассматривать частную производную от вектора по координатам, то она тождественно равна нулю или нет?

[svv]

$$\nabla_i \mathbf u = \nabla_i (u^l \mathbf e_l ) = (\partial_i\, u^l)\, \mathbf e_l + u^l\, \nabla_i \mathbf e_l$$

Да, это правильно. Скажите только, которое из последних двух слагаемых Вы называете производной от вектора?

Первое слагаемое, $(\partial_i\, u^l)\, \mathbf e_l$, нулю, понятно, не равно, если компоненты $\mathbf u$ зависят от координат.

Второе слагаемое, $u^l\, \nabla_i \mathbf e_l$, обращается в нуль, лишь когда у Вас нулевые компоненты связности (символы Кристоффеля). Попросту -- когда у Вас многообразие без кривизны и в нём декартова или косоугольная система координат.

Наоборот, не равно нулю (общий случай), если многообразие с кривизной, или же просто система координат криволинейная. Достаточно простых полярных координат в евклидовом пространстве, чтобы $\nabla_i \mathbf e_l \neq \mathbf 0$.

[m@x]

Я с вами полностью согласен.
Производной от самого вектора по координатам я называю выражение $\[{\nabla _i}\vec u\]$ или (это не принципиально кривизна или нет)
$\[{\partial _i}\vec u\]$.
Проблема в том, что такое выражение, как
$\[{\partial _i}\vec u\]$ несуразно. Вектор - геометрический объект. Так, что это должно быть тождественно равно нулю. Проблема в том, что возникает противоречие, если воспользоваться разложением
$\[\vec u = {u^i}{\vec e_i}\]$.

P.S. Выражение вида $\[{\nabla _i}\vec u\]$ тоже непонятно (что это, вообще за объект?), правильным должно быть $\[\nabla \vec u\]$. Однако, ничто не мешает взять производную $\[\frac{\partial }{{\partial {x^i}}}\]$ по $\[\vec u = {u^i}{{\vec e}_i}\]$.

[svv]

Ёлы, прав был alcoholist.

Так у Вас всё-таки вектор является функцией точки или нет? Т.е. у Вас векторное поле или нет?
Обычно (=всегда) под этим углом рассматриваются именно векторные поля. А тогда вектор, будь он 300 раз инвариантным геометрическим объектом в точке, всё же зависит от точки. В каждой точке -- свой геометрический объект. От выбора системы координат он не зависит, а от выбора точки -- зависит.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Это продолжение банкета , так сказать: topic56441.html
Из серии "Ви хОчите песен -- их есть у меня"
Вот сейчас сюда придут тяжеловесы из той ветки и тогда мы похохочем.

.

-- Пн мар 26, 2012 18:42:53 --

m@x в сообщении #552349 писал(а):

$\[{\partial _i}\vec u\]$.

нет такого понятия вообще, нельзя вектор по координате дифференцировать -- не получится инвариантного объекта. Читайте определение ковариантной производной.

[svv]

m@x писал(а):

P.S. Выражение вида $\[{\nabla _i}\vec u\]$ тоже непонятно (что это, вообще за объект?), правильным должно быть $\[\nabla \vec u\]$.

Вы уж извините, должен сразу сказать. Наше сотрудничество будет уменьшаться в той степени, в которой будет обнаруживаться, что Вы -- представитель "альтернативной точки зрения". Силы надо беречь. Вопросы -- пожалуйста, а альтернативную точку зрения на тензорный анализ продвигать здесь не надо.

[m@x]

svv в сообщении #552389 писал(а):

Так у Вас всё-таки вектор является функцией точки или нет? Т.е. у Вас векторное поле или нет?
Обычно (=всегда) под этим углом рассматриваются именно векторные поля. А тогда вектор, будь он 300 раз инвариантным геометрическим объектом в точке, всё же зависит от точки. В каждой точке -- свой геометрический объект. От выбора системы координат он не зависит, а от выбора точки -- зависит.

Перед этим же вы сами написали

svv в сообщении #552336 писал(а):

$$\nabla_i \mathbf u = \nabla_i (u^l \mathbf e_l ) = (\partial_i\, u^l)\, \mathbf e_l + u^l\, \nabla_i \mathbf e_l$$

Да, это правильно.

Противоречие.

Какая к черту "альтернативная точка зрения"? Я про конкретный пример здесь спросил, т. к. сам не разобрался. Если не знаете, то так честно и скажите.

[svv]

В чем противоречие?