корреляции белого шума на выходе идеального полосового фильт

[greyvolf]

Модулированный сигнал поступает на вход приемного устр-ва в сумме с аддитивным нормальным белым шумом со спектральной плотностью энергии $G_{0}=8 V^2/Hz$
Рассчитайте функцию корреляции белого шума на выходе идеального полосового фильтра с полосой пропускания соответствующей ширине спектра и несущей сигнала АМ, где $ F= 8\cdot10^3 Hz $(модулирующая), $f =1.2\cdot10^6 Hz $(несущая)

-- Вс мар 25, 2012 23:05:03 --

Решение:
определим энергетический спектр шума на выходе идеального полосового фильтра:
ширина спектра $\Delta f_{0}=2F =16 \cdot10^3 Hz$
$G_{v}(w)=G_{0}K_{0}^2$ при $ \omega_{0} - F ; \omega_{0} ; \omega_{0} + F $,
$K_{0}$- это судя по всему АЧХ полосового фильтра...или также коэффициент усиления....
а как сюда в эту формулу подмешать амплитудно-модулированный сигнал?...и чему равен $K_{0}$ численно или символично хоть, чтобы можно было оперировать данными???

[profrotter]

greyvolf в сообщении #552148 писал(а):

$f =1.2\cdot10^6 Hz $(несущая)

$f_0 =1.2\cdot10^6 Hz $(несущая)

greyvolf в сообщении #552148 писал(а):

ширина спектра $\Delta f_{0}=2F =16 \cdot10^3 Hz$

$\Delta f=2F =16 \cdot10^3 Hz$

greyvolf в сообщении #552148 писал(а):

$G_{v}(w)=G_{0}K_{0}^2$ при $ \omega_{0} - F ; \omega_{0} ; \omega_{0} + F $,
$K_{0}$- это судя по всему АЧХ полосового фильтра...или также коэффициент усиления....

$G_{v}(f)=G_{0}K_{0}^2$ при $ f_{0}-F <f< f_{0}+F $ или $G_{v}(\omega)=G_{0}K_{0}^2$ при $ \omega_{0} - \Omega < \omega < \omega_{0} + \Omega $

greyvolf в сообщении #552148 писал(а):

а как сюда в эту формулу подмешать амплитудно-модулированный сигнал?

А никак. Несмотря на то, что АМ-сигнал и шум действуют на фильтр в аддитивной смеси, они преобразуются фильтром независимо друг от друга (виду того, что фильтр является линейным устройством, а для линейных устройств выполняется принцип суперпозициии). АМ-сигнал задан в задаче, чтобы можно было определить харктеристики фильтра (полосу пропускания и среднюю частоту АЧХ). Вы этим уже воспользовались.

greyvolf в сообщении #552148 писал(а):

чему равен $K_{0}$ численно или символично хоть, чтобы можно было оперировать данными???

$K_{0}$ - это число. Если оно не задано в задаче, значит $K_{0}$ так и войдёт в решение в виде буковки.

[greyvolf]

$$ K(\omega)=\begin {cases} K_{0}, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|\leqslant \frac {\Delta f}{2} $;}\\ 0, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|> \frac {\Delta f}{2} $ .} \end {cases} $$

АЧХ идеального полосового фильтра.
Функция корреляции белого шума:

$$B(\tau)=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta f}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta f}{2}}G_{v}(\omega)\cos(\omega\tau)d\omega=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta f}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta f}{2}}G_{0}K_{0}^2 \cos(\omega\tau)d\omega=$$

$$=\frac {1}{2\pi\tau}G_{0}K_{0}^2 2 \sin(\frac{\Delta f \tau}{2})\cos(\omega_{0}\tau)=\frac{G_{0}K_{0}^2 \Delta f \sin(\frac{\Delta f \tau}{2})}{2\pi \frac{\Delta f \tau}{2}} \cos(\omega_{0}\tau)$$

-- Пн мар 26, 2012 20:19:54 --

дисперсия шума на выходе фильтра $\sigma^2=B(0)$тогда:

$$\sigma^2=\frac{G_{0}K_{0}^2 \Delta f }{2\pi }$$

согласно условиям задачи:

$$\sigma^2=\frac{64 \cdot 10^3 K_{0}^2 }{\pi }$$

вроде так.....

[profrotter]

greyvolf в сообщении #552401 писал(а):

$$ K(\omega)=\begin {cases} K_{0}, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|\leqslant \frac {\Delta f}{2} $;}\\ 0, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|> \frac {\Delta f}{2} $ .} \end {cases} $$

$$ K(\omega)=\begin {cases} K_{0}, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|\leqslant \frac {\Delta\omega}{2} $;}\\ 0, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|> \frac {\Delta\omega}{2} $ .} \end {cases} $$

$\Delta\omega=2\pi\Delta f$

greyvolf в сообщении #552401 писал(а):

Функция корреляции белого шума:

$$B(\tau)=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta f}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta f}{2}}G_{v}(\omega)\cos(\omega\tau)d\omega$$

$$B(\tau)=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta\omega}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta\omega}{2}}G_{v}(\omega)\cos(\omega\tau)d\omega$$

[greyvolf]

ну да $\Delta f $это ширина спектра частот, в АЧХ там ширина энергетического спектра

[profrotter]

$\Delta f$ - ширина спектра в единицах циклической частоты (Гц), а $\Delta\omega$ - в единицах круговой частоты (рад/с).

[greyvolf]

$$ K(\omega)=\begin {cases} K_{0}, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|\leqslant \frac {\Delta \omega}{2} $;}\\ 0, &\text {если $|\omega-\omega_{0}|> \frac {\Delta \omega}{2} $ .} \end {cases} $$

АЧХ идеального полосового фильтра.
Функция корреляции белого шума:

$$B(\tau)=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta \omega}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta \omega}{2}}G_{v}(\omega)\cos(\omega\tau)d\omega=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{\omega_{0}-\frac {\Delta \omega}{2}}^{\omega_{0}+\frac {\Delta \omega}{2}}G_{0}K_{0}^2 \cos(\omega\tau)d\omega=$$

$$=\frac {1}{2\pi\tau}G_{0}K_{0}^2 2 \sin(\frac{\Delta \omega \tau}{2})\cos(\omega_{0}\tau)=\frac{G_{0}K_{0}^2 \Delta\omega \sin(\frac{\Delta \omega \tau}{2})}{2\pi \frac{\Delta \omega \tau}{2}} \cos(\omega_{0}\tau)$$

дисперсия шума на выходе фильтра $\sigma^2=B(0)$тогда:

$$\sigma^2=\frac{G_{0}K_{0}^2 \Delta\omega }{2\pi }$$

$$\sigma^2=\frac{G_{0}K_{0}^2 2\pi \Delta f }{2\pi }$$

согласно условиям задачи:

$$\sigma^2=128 \cdot 10^3 K_{0}^2 $$

тогда так.....

-- Пн мар 26, 2012 22:19:32 --

теперь приемлимо???

[profrotter]

Похоже на правду. Надо бы размерность к $128\cdot 10^3$ приделать.

[greyvolf]

$$\sigma^2=1.28 \cdot 10^5 K_{0}^2 $$

тогда так.....

[profrotter]

Я имел ввиду, что это число будет измеряться не в поллитрах.