Пара вопросов по расслоениям и связностям в них

[vanger]

Здравствуйте.

У меня возникла пара вопросов по расслоениям. Вопросы связаны с отсутствием пока чёткого понимания предмета, поэтому могут оказаться некорректно поставленными, а то и бессмысленными. Прошу указать на это, если так.

В качестве основной книги использую лекции Игоря Долгачёва Introduction to quantum physics for mathematicians. Т.к. вопросы возникали по тексту, и чтобы оговорить обозначения, вопросы предваряются некоторым текстом. Итак.

1. Введя связность в главном расслоении как горизонтальные подпространства, переходящие друг в друга при правом действии группы, вводим ковариантную производную дифференциальных форм со значениями в алгебре Ли структурной группы в главном расслоении $d^A$ так:
$d^A(w)(\tau_1,\dots,\tau_{k+1}) = dw(\tau_1^h,\dots,\tau_{k+1}^h)$.

Теперь, для хороших форм, определяем их действие на базе M, посредством выбора локального сечения $s_U: U \rightarrow P$:
$w(\xi_1,\dots,\xi_k)(x) = w(ds_U(\xi_1),\dots,ds_U(\xi_k))(x)$.
Далее показывается, что так определённые формы на M преобразуются хорошо - как сечение расслоения форм со значениями в алгебре Ли, на которой структурная группа действует присоединённым представлением. Его обозначают $\mathcal A^k(Ad(P))$.

Правильно ли я понимаю, что подразумевается, что выбор сечения здесь произволен: мол, другое сечение можно получить из данного подкруткой структурной группой, а потому произвол выбора сечения $s_U: U \rightarrow P$ соответствует выбору тривиализующей окрестности в Ad(P)?

2. При рассмотрении связности в векторном расслоении E заявляется, что выбор сечения в соответствующем главном расслоении $U \rightarrow P$ задаёт базис в слоях $E_x$: $(e_1(x),\dots,e_n(x))$, что позволяет сделать тривиализацию E совсем удобной:
$U \times \mathbb R^n \rightarrow E|U, \; (x,a_1,\dots,a_n) \rightarrow a_1 e_1(x) + \dots + a_n e_n(x)$.

Правильно ли я понимаю, что утверждается, что задание сечения в P позволяет задать n сечений в E как
$e_1(x) = \rho(g(x)) (1,0,\dots)$
и т.п.,
где $\rho(g)$ - представления g=GL(n) в слое E.
Если это так, то получается, что в слое векторного расслоения E подразумевается существование некоторого выделенного базиса, который позволяет рассматривать $\mathbb R^n$ как столбец чисел, а не как класс эквивалентности линейных пространств по изоморфизму?