ДУ и интеграл

[Arcanine]

Функция $f(x)$ является решением ДУ $y'=\frac{1}{x^2+y^2}$ с начальным условием $y(0)=1.$ Пусть $y(1)=a.$ Выразите через $a$ интеграл $\int\limits_0^1 xy(x)dx.$

(Оффтоп)

По решению ДУ есть догадка, что через полярные. Али нет?

[ИСН]

(Оффтоп)

Нет. Да. Наплевать. Если бы оно хоть как-нибудь решалось, какой смысл был бы в задаче? Никакого.

[svv]

(Оффтоп)

ИСН люто дзэнствует.

[Arcanine]

(Оффтоп)

Цитата:

какой смысл был бы в задаче?

Логично.

[Oleg Zubelevich]

$\int_0^1xydx=\frac{1}{2}(a-1+\frac{1}{3}(a^3-1))$

[Arcanine]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich осталось догадаться откуда пришла эта "портянка".

[ИСН]

Куб минус один - очевидно, а остальное я не проверял, но похоже.
Arcanine, ну а что делать, когда нечего делать? Вот интеграл, вот баран, вот новые ворота. Крутить, вертеть. Мы хоть что-то знаем про функцию? Знаем: вот диффур. А как бы нам его использовать? Надо, чтобы где-то появилась $y'$, тогда мы её заменим ясно на что. Есть она у нас под интегралом? Нет. Можно сделать, чтоб была?..

[Arcanine]

Цитата:

Можно сделать, чтоб была?

ИСН По частям, пожалуй.

[ИСН]

Ну! Естественно! Берите и делайте, наконец, или мы ещё неделю будем ждать?

[Arcanine]

$\int\limits_0^1 xy(x)dx=[...]=\frac{1}{2}(a-\int\limits_0^1 x^2y'(x)dx)=\frac{1}{2}(a-\int\limits_0^1 \frac{x^2}{x^2+y^2}dx)=...$
А дальше не сходится с ответом Oleg Zubelevich'а. Подозрительно всё это. Напортачил я где-нибудь...

[ИСН]

Я вообще не вижу, как Вы дальше пришли к какому-нибудь ответу, хоть правильному, хоть нет. Как? Раскройте тему.

[Arcanine]

$...=\frac{1}{2}(a-\int\limits_0^1 (1-\frac{y^2}{x^2+y^2})dx=\frac{1}{2}(a-\frac{a^2}{1+a^2})$

[ИСН]

Последний переход неясен. Что произошло? Сверху $y^2$ заменилось на $a^2$, снизу тоже что-то в этом роде... как будто кто-то просто подставил значения в 1. Минуточку, а Вы не забыли, что перед этим выражением был такой длинный вертикальный крючочек?

[Arcanine]

ИСН предполагаю, что надобно однократный интеграл свести к двойному.

[Dave]

$$\int_0^1 \frac{y^2}{x^2+y^2}dx=\int_0^1 y^2y'dx=\int_0^1 \frac {dy^3} 3=\frac 1 3 y^3 \Bigr|_0^1=\frac 1 3 (a^3-1)$$