Векторные пространства

[MrDindows]

Помогите пожалуйста с парой задач:
1.Укажите базис и найдите размерность подпространства всех тех многочленов из $\mathbb{R}_n[x]$ , для которых
а)фиксированное число $a \in \mathbb{R}$ является корнем
б)фиксированное число $a \in \mathbb{C}\diagdown\mathbb{R}$ является корнем.
2.Укажите явно какой-нибудь изоморфизм подпространства тех многочленов из пространства $\mathbb{R}_n[x]$ для которых фиксированное число $a$ является корнем, и пространства $\mathbb{R}^n$

Второе задание я понимаю, но изоморфизм придумать не могу. А вот в первом вообще не понимаю, как задать базис...

[ewert]

MrDindows в сообщении #552026 писал(а):

А вот в первом вообще не понимаю, как задать базис...

Умножьте канонический базис на $(x-a)$. В комплексном случае -- аналогично (с учётом сопряжённости корней).

[MrDindows]

ewert в сообщении #552029 писал(а):

MrDindows в сообщении #552026 писал(а):

А вот в первом вообще не понимаю, как задать базис...

В комплексном случае -- аналогично (с учётом сопряжённости корней).

Эт значит, если $a=b+ci$, то надо домножить на $((x-b)^2+c^2) ?$

[svv]

Если Вы ещё не уверены, то да.

[MrDindows]

Спс. А что на счёт второго задания?

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #552055 писал(а):

А что на счёт второго задания?

Если у Вас есть базисы, явно заданные, то в чём проблема? По принципу равенства координат в базисах и стройте изоморфизм.

[svv]

$\dim \mathbb{R}_n[x]=n+1$, а размерность подпространства полиномов, для которых $x=a$ является корнем, равна $n$, поэтому и возможен изоморфизм.
Полиному $(x-a)\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_k x^k$ ставится в соответствие вектор с координатами $(c_k)$.

[MrDindows]

Понял. Я думал, что степень многочлена должна быть $n-1$.
И ещё пожалуйста две задачи:
Пусть $a_1, a_2, ... , a_{n+1}$ - множество различных вещественных чисел. Доказать, что множество многочленов $w_i, \ 1 \le i \le n+1, $ из векторного пространства $\mathbb{R}_n[x]$ , которые удовлетворяют условию $w_i(a_i)=1, \ w_i(a_j)=0, i\ne j$, является базисом пространства $\mathbb{R}_n[x]$. Найти явный вид многочленов и выразить через базис многочлен $f \in \mathbb{R}_n[x]$.

Про базис доказал, явный вид нашёл:

$$w_i=\frac{a_i-a_i}{\prod\limits_{j=1}^{n+1}(a_i-a_j)}\cdot\frac{\prod\limits_{j=1}^{n+1}(x-a_j)}{x-a_i}$$

А вот как выразить через базис, я не знаю. Тут же такие некрасивые коэффициенты)

И вторая: Докажите, что пространство вещественных непрерывных функций является прямой суммой подпространства $\mathbb{R}_n[x]$ и подпространства непрерывных вещественных функций, которые в заданных различных точках $a_1, ... , a_{n+1}$ равны $0$.
Тут я вообще не знаю, что делать) Что такое прямая сумма? И как вообще такое доказывать)

[ewert]

MrDindows в сообщении #552102 писал(а):

Что такое прямая сумма?

Это такая сумма двух линейных подмножеств, при которой эти подмножества не пересекаются. Ну в смысле пересекаются только по тривиальному элементу. Вот это непересечение и доказывайте.

[MrDindows]

ewert в сообщении #552114 писал(а):

MrDindows в сообщении #552102 писал(а):

Что такое прямая сумма?

Это такая сумма двух линейных подмножеств, при которой эти подмножества не пересекаются. Ну в смысле пересекаются только по тривиальному элементу. Вот это непересечение и доказывайте.

Ну вот в Rn[x] у нас многочлены степени $n$, а те функции из подпространства, если и являются многочленами, то как минимум степени $n+1$, так как у них $n+1$ корней.
Вот собственно непересечение и доказано. Разве это и всё?)