Задача про движение по окружности

[Nikita]

Иродов 1.40
Частица движется по окружности радиуса R. В момент t=0 она находилась в точке O, и далее ее скорость меняется со временем как Ut=a*t-b*t^2, где a и b - положительные постоянные. Найти модуль полного ускорения частицы, когда она снова окажется в точке О.

Эта задача немного хитрее чем кажется на первый взгляд.
Какие будут Ваши решения?

[Хет Зиф]

Я так понимаю что: $U(t)=at-bt^2$. Также про $a,b$ - ничего не известно? И тогда вообще говоря вылазиют два случая:
1 -ый: это когда частица доедет до точки O, вращаясь по окружности,
2 -ой: она остановится и поедет назад и также доедет до точки O.
1-ый случай немного сложноват. Может конечно там можно как -то исхитрится и не решать кубическое уравнение. Но я пока над этим не думал.
2- ой случай легче. Решаем ур-е: $\frac{at^2}{2}-\frac{bt^3}{3}=0$.
Получим: $t_{0}=\frac{3a}{b}$, тогда $U_{0}=-\frac{6a^2}{b}$. Тогда:
$a_{\tau}=U^{'}=-5a$, и $a_{n}=\frac{U_{0}^2}{R}=\frac{36a^4}{Rb^2}$.В итоге получим
что $a^2=a_{\tau}^2+a_{n}^2$. Следовательно: $a=\sqrt{(\frac{36a^2}{Rb^2})^2+25a^2}$.
Ищите ошибки

[Nikita]

Правильно. если учесть, что $t_{0}=\frac{3a}{2b}
Со первым случаем сложнее тк решение того кубического уравнения получается громоздким.

[Хет Зиф]

Nikita
Я бы сказал оно становится весьма громоздким

[Nikita]

Но наличие даже медленного компа и подходящего софта может сделать решение этой задачи быстрым.
С помощью мапла получилось что-то вроде:
1/16\,\sqrt {{\frac { \left( -3\,a\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} +4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}+ \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt { \pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2 /3}+{a}^{2} \right) ^{2} \left( -552960\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a }^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{ 3} \right) }b \right) ^{2/3}a{\pi }^{3}{R}^{3}{b}^{6}+51240\,\sqrt [3] {24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12 \,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{8}\pi \,R{b}^{2}+2488320\, \sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{2}{\pi }^{3}{R}^{3} {b}^{6}-5400\,{a}^{9}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{ b}^{2}-{a}^{3} \right) }b+64\,{b}^{4}{R}^{2}{a}^{6}+2654208\,{\pi }^{4 }{R}^{4}{b}^{8}+73728\,{b}^{8}{R}^{4}{\pi }^{2}+442368\,{\pi }^{7/2}{R }^{3}{b}^{7}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }-1216512\,{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5}{a}^{3}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+12288\,{b}^{7}{R}^{3}{ \pi }^{3/2}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }-512\,{b}^{5}{R}^{2}{a}^{3}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+179520\,{\pi }^{3/2}R{b}^ {3}{a}^{6}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+357120\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi } \sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a }^{4}{\pi }^{2}{R}^{2}{b}^{4}-105600\,\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a} ^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3 } \right) }b}{a}^{5}\sqrt {3}{\pi }^{3/2}R\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{ b}^{2}-{a}^{3} \right) }{b}^{3}+414720\,\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{ a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^ {3} \right) }b}{a}^{2}{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5}\sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }-92160\, \left( 24\,\pi \, R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b }^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}a{\pi }^{5/2}{R}^{2}{b}^{5} \sqrt {3}\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }+675\,{a} ^{12}-675\,{a}^{11}\sqrt [3]{24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3} \sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}- 7409664\,{\pi }^{3}{R}^{3}{b}^{6}{a}^{3}+1378944\,{\pi }^{2}{R}^{2}{b} ^{4}{a}^{6}-71040\,\pi \,R{b}^{2}{a}^{9}+55680\, \left( 24\,\pi \,R{b} ^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2 }-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{4}\sqrt {3}{\pi }^{3/2}R\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }{b}^{3}-6144\,{b}^{6}{R} ^{3}\pi \,{a}^{3}-3600\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3 }\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{7}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R {b}^{2}-{a}^{3} \right) }b-35040\, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4 \,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{7}\pi \,R{b}^{2}+4500\,\sqrt [3]{24\, \pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\, \pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{8}\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b-737280\,\sqrt [3]{24\, \pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\, \pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b}{a}^{5}{\pi }^{2}{R}^{2}{b}^{4}+675 \, \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3}\sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{2/3}{a}^{10} \right) }{{b}^{4} \left( 24\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3}+4\,\sqrt {3} \sqrt {\pi }\sqrt {R \left( 12\,\pi \,R{b}^{2}-{a}^{3} \right) }b \right) ^{8/3}{R}^{2}}}}
для искомого ускорения.

Полезная вещь символьная математика.

[Хет Зиф]

Nikita
Также можно еще Mathematikа -ой.