Ортогональные преобразования

[eugrita]

Чтобы «пощупать» ортогональные матрицы 3 порядка с помощью математических пакетов, например,Матлаб надо как минимум уметь генерировать много примеров ортогональных матриц.В классических курсах линейной алгебры, в т.ч. и Гельфанда изучаются ортогональные преобразования, и в частности говорится, что собственное ортогональное преобразование есть вращение вокруг некоторой оси.Но о способах генерации ортогональных матриц а также о нахождении вектора этой оси умалчивается.
Я нашел выражение матрицы поворота через углы Эйлера

Собственно это 3-х параметрическое семейство матриц. Этим исчерпываются все собственные ортогональные матрицы? Или как-то еще их можно параметризовать?
Утверждается, что всякое несобственные преобразования — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.
А какой их параметрический вид?
Как по матрице найти вектор оси, вдоль которой делается результирующее вращение?

[AlexValk]

Цитата:

Как по матрице найти вектор оси, вдоль которой делается результирующее вращение?

Поскольку при вращении (или вращении с последующим отражением) вектор оси вращения сохраняется (меняет знак), то он является собственным вектором данной ортогональной матрицы с собственным числом 1 (или, соответственно, -1).
Что касается двух других собственных чисел трехмерной ортогональной матрицы, то они по модулю тоже равны единицы, но могут быть как комплексными, так и вещественными (подумайте, чему это соответствует геометрически).

Для компьютерной генерации произвольных ортогональных матриц в 3-х мерном пространстве, возможно, нагляднее использовать не углы Эйлера, а задать единичную ось поворота (две переменные) и угол поворота (одна переменная).
Явные выражения для матриц поворота в этих переменных посмотрите, например, в разделе "Выражение матрицы поворота через угол поворота и единичный вектор оси вращения" в http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B0, а явные выражения для матриц отражения (относительно плоскости, перпендикулярной к заданному вектору), найдете набрав "преобразование Хаусхолдера" в Википедии.

[eugrita]

Согласен. ось -это собств вектор собственного числа $\lambda=1$
Я собственно эти вопросы затронул для того чтобы придумать интересные студентам задачки с вращениями
для решения на матлаб.
Как вам такая задачка (пример).
Тело делает сначала поворот вокруг оси x на 30град, потом вокруг оси y на 45 град, потом вокруг оси z на 110 град
Найти мгновенную ось вращения. Написать функцию выдающую вектор оси при
а)любых заданных углах поворота относительно декартовой системы x,y,z
б)любых заданных углах поворота Эйлера $\alpha,\beta,\gamma$

[epros]

eugrita в сообщении #550550 писал(а):

Или как-то еще их можно параметризовать?

Хороший способ параметризации - с помощью генераторов поворотов, т.е. антисимметричных матриц следующего вида:

$$\xi_{y z} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\xi_{z x} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\xi_{x y} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Матрица произвольного поворота через них запишется так:

$$M(\alpha, \beta, \gamma) = e^{\alpha \xi_{y z} + \beta \xi_{z x} + \gamma \xi_{x y}}$$

где $\alpha, \beta, \gamma$ - произвольные параметры ("углы поворота"). Нужно только уметь считать экспоненту от матрицы.

Обратите внимание, что элементарному повороту "вокруг оси $z$" соответствует $\xi_{x y}$ и т.п., т.е. на самом деле поворот выполняется не "вокруг оси $z$", а "в плоскости $x y$". Это позволяет применять данный подход не только к трёхмерному пространству. Например, легко увидеть, что в четырёхмерном пространстве 6 независимых генераторов поворотов.

Да, кстати, в трёхмерном пространстве вектор с координатами $(\alpha, \beta, \gamma)$ как раз определяет и направление оси поворота, и величину угла поворота вокруг неё.

[mclaudt]

epros в сообщении #550775 писал(а):

$\alpha, \beta, \gamma$ - произвольные параметры ("углы поворота").

Причем речь о бесконечно малых углах поворота, либо поворотах с постоянной осью вращения. На всякий случай подчеркну, что если подставить сюда углы из примера автора темы, то итоговая матрица в общем случае не будет иметь ничего общего с той, которая описывает последовательные повороты на указанные углы вокруг осей, так как повороты на конечные углы вокруг разных осей некоммутативны и потому не определяются лишь углами, но ещё и очередностью.

[epros]

mclaudt в сообщении #551842 писал(а):

Причем речь о бесконечно малых углах поворота, либо поворотах с постоянной осью вращения. На всякий случай подчеркну, что если подставить сюда углы из примера автора темы, то итоговая матрица в общем случае не будет иметь ничего общего с той, которая описывает последовательные повороты на указанные углы вокруг осей, так как повороты на конечные углы вокруг разных осей некоммутативны и потому не определяются лишь углами, но ещё и очередностью.

Совершенно верно, повороты некоммутативны, поэтому вот это:

$$e^{\gamma \xi_{x y} + \beta \xi_{z x} + \alpha \xi_{y z}}$$

не то же самое, что вот это:

$$e^{\gamma \xi_{x y}}e^{\beta \xi_{z x}}e^{\alpha \xi_{y z}}$$

В первом случае альфа, бета и гамма - это проекции вектора поворота на оси координат, а во втором случае - это эйлеровы углы: $\alpha$ - собственного вращения, $- \beta$ - нутации, а $\gamma$ - прецессии.

Кстати, студентам для упражнения будет полезно доказать, что:

$$e^{\gamma \xi_{x y} + \beta \xi_{z x} + \alpha \xi_{y z}} = e^{\gamma \xi_{x y}}e^{\beta \xi_{z x}}e^{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2} \xi_{y z}}e^{- \beta \xi_{z x}}e^{- \gamma \xi_{x y}}$$

[eugrita]

А каково мнение уважаемых участников по поводу следующих моих задач (правда не забывайте что они должны делаться с поддержкой мощной математики Матлаб) (подробности формулировки относящиеся к матлаб опускаю)
Задача 1. Матрица С перехода от связанной к неподвижной системе координат дается...(см. выше матрица углов Эйлера).
рассчитать траекторию движения точки М(1,0,0) при равномерной прецессии
$\alpha=w_1t,\gamma=w_2t,\beta=\operatorname{const}$ и построить ее график в случаях
а)$w_1,w_2$ соизмеримы (кратны), б)$w_1,w_2$ несоизмеримы

Задача 2 Для повернутой системы координат по отношению к исходной найти зависимость углов
$\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z$ поворотов относительно осей Ox,Oy,Oz исходной от ее же углов Эйлера , т.е. $\varphi_x(\alpha,\beta,\gamma),\varphi_y(\alpha,\beta,\gamma) $
$\varphi_z(\alpha,\beta,\gamma)$ и наоборот, обратного перехода
$\alpha(\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)...$
(Примеч.рассчитать имеется в виду не по формулам, а алгоритмически - написать функцию перехода)
повороты $\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z$ делать именно в указанной последовательности относительно Ox,Oy,Oz )
Примеч.2 помнится были еще элементы Делонэ-Пуанкаре - но они слишком специальны - для небесной механики и в курсе матлаб для общетехнических специальностей по-моему не уместны
Примеч 3 не очень понимаю еще такой формы выражения вращения (википедия)
"Выражение матрицы поворота через угол поворота $\theta $ и единичный вектор оси вращения."

Т.е не понимаю в каких случаях это применяется и удобнее?

[eugrita]

Извините, дурацкий вопрос: С 1 стороны я сам понимаю что мгновенная ось вращения есть собств вектор матрицы соответствующий $\lambda=1$ с другой стороны при рассмотрении композиций 3 поворотов относительно осей Ox,Oy,Oz мы вместо перемножения 3 матриц и нахождения собственных чисел результата можем элементарно построить вектор $(\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)$
(т.е. векторно сложить 3 угловые скорости) - он то и будет мгновенной осью?