Принцип максимума Понтрягина

[freedom_of_heart]

$\displaystyle\int_0^\pi({\dot x}^2-{x}),dt\to\operatorname{extr}\,\,\,\,\,|\dot{x}|\leqslant 1\,\,\,\,x(0)=0$

$\dot x=u$

Вспомогательный функционал.

$\hat f=\displaystyle\int_0^\pi\big[\lambda_0(x+u^2)+p(t)(\dot x-u)\big]dt$

Уравнение Эйлера

$\dot p-\lambda_0=0$

А как дальше?

[freedom_of_heart]

Понятно, что $p(t)=\lambda_0t+C$

Но как дальше?

[MaximVD]

Давайте сначала всё рассмотрим в общем виде. Есть много разных постановки задачи оптимального управления, но в вашем случае можно рассмотреть задачу с закреплённым временем (т.к. время $[0, \pi]$ фиксировано) и без фазовых ограничений (т.е. без ограничений вида $f_i(t, x, u) \le 0$). Есть функционал $\mathcal{I}(x, u) = \int_{t_0}^{t_1} f( t, x, u) \,dt$ и ограничения $\dot{x} = \varphi(t, x, u)$, $h_0 (t_0, x(t_0)) = 0$, $h_1( t_1, x(t_1)) = 0$, $u \in U$ - множество допустимых управлений (кстати, как оно выглядит в вашей задаче?). Требуется найти такое управление $u^*$, чтобы пара $u^*$ и $x^*$ (траектория, соответствующая этому управлению) доставляла бы минимум (или максимум) функционалу $\mathcal{I}$.
Принцип максимума Понтрягина (в лагранжевой форме) говорит, что если $u^*$ - оптимальное управление, а $x^*$ - соответствующая ему оптимальная траектория, то найдутся число $\lambda_0 \ge 0$ и функция $p(t)$ не равные одновременно нулю ($\lambda_0$ и $p$ - можно интерпретировать как множители Лагранжа), что для функционала

$$ \int_{t_0}^{t_1} (\lambda_0 f(t, x, u) + \langle p, \dot{x} - \varphi(t, x, u) \rangle )\, dt $$

в точке ($x^*$, $u^*$) выполняется уравнение Эйлера по $x$. К тому же

$$ \lambda_0 f(t, x^*, u^*) + \langle p, \dot{x}^* - \varphi(t, x^*, u^*) \rangle = \min_{u \in U} (\lambda_0 f(t, x^*, u) + \langle p, \dot{x}^* - \varphi(t, x^*, u) \rangle) $$

(т.е. на оптимальном управлении достигается минимум функции $\lambda_0 f(t, x^*, u) + \langle p, \dot{x}^* - \varphi(t, x^*, u) \rangle$ по $u$). При этом $p(t_0)$ и $p(t_1)$ выражаются через производные $h_0$ и $h_1$ по $x$, соответственно.

(Оффтоп)

В такой форме принцип максимума Понтрягина, наверное, лучше называть принципом минимума Понтрягина, т.к. на оптимальном управлении достигается минимум, но так уж повелось, что его всегда называют принципом максимума.

Теперь вернёмся к вашей конкретной задаче. Во вспомогательном функционале должно быть $\lambda_0 (u^2 - x)$.
По условию правый конец не закреплён, т.е. $h_1(t_1, x(t_1)) \equiv 0$. Откуда производная по $x$ от $h_1(t_1, x(t_1))$ тоже равна нулю, а значит $p(t_1) = 0$ (в вашем случае $t_1 = \pi$). Из этого можно найти константу $C$. Дальше надо воспользоваться условием минимума по управлению.

-- Вс мар 25, 2012 15:40:06 --

Когда найдёте $C$, из условия, что $\lambda_0 \ge 0$ и $p$ не равны одновременно нулю, можно будет сделать вывод относительно $\lambda_0$.