Формализм о малых и О-больших

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551913 писал(а):

Такой уж у Вас предмет ... слишком формальный

Математика вся формальна. А использование некорректного формализма чревато логическими ошибками, неверными рассуждениями и абсурдными выводами!

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551912 писал(а):

Наибольший общий делитель двух чисел

Я имел в виду многочлены.

Профессор Снэйп в сообщении #551912 писал(а):

Следует ли это понимать так, что новых учебных пособий появляться вообще не должно?

Должны, конечно. Только писать их надо качественно, а это не каждый сможет.

[Профессор Снэйп]

Как вам, например, запись $\lim_{x \to 0} o(x) = 0$? Не коробит? А $\limsup_{x \to 0} O(x) = \mathrm{Const}$?

-- Вс мар 25, 2012 14:28:19 --

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

Я имел в виду многочлены.

Ну пусть будет так. Всё равно ведь корректно. $1$ - тоже многочлен!

-- Вс мар 25, 2012 14:33:17 --

nnosipov в сообщении #551917 писал(а):

...писать их надо качественно, а это не каждый сможет.

Вот я и выдвигаю предложение насчёт того, как должны быть написаны учебники, чтобы их можно было считать качественными. В частности, они не должны содержать о-символики

Тот же самый "фихтенгольц", к настоящему моменты морально устаревший, не заморачивается ведь всякими историческими глупостями типа ньютоновских "флюксий". Если написанные в начале 20 века учебники учитывали достижения математики 19 столетия, почему сегодняшние учебные пособия не должны учитывать достижения 20-го?

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

Как вам, например, запись $\lim_{x \to 0} o(x) = 0$? Не коробит? А $\limsup_{x \to 0} O(x) = \mathrm{Const}$?

Правда, первый раз вижу такое. Но в то, что это можно увидеть в какой-нибудь самопальной методичке, поверю. Просто многие коллеги совершенно халатно стали относится к рецензированию, вот это меня беспокоит. Отсюда и все эти прелести.

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

Всё равно ведь корректно. $1$ - тоже многочлен!

НОД многочленов неоднозначно определён, здесь такая же картина, что и с формулой $f(x)=O(g(x))$.

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551924 писал(а):

НОД многочленов неоднозначно определён...

А, понял, о чём Вы

На самом деле, если разбираться, то и НОД чисел определён не однозначно. А с точностью до умножения на обратимый элемент кольца, из которого берутся числа. В частности, НОД двух целых чисел определён с точностью до знака...

-- Вс мар 25, 2012 14:46:34 --

И вообще, лучше говорить не про НОД двух объектов, а про главный идеал, равный сумме других главных идеалов

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

В частности, они не должны содержать о-символики

Бывает так, что в оценке $f(x)=O(g(x))$ константу, которая там сидит, не то что выписать, даже оценить сверху очень трудно, а доказать существование такой константы может быть гораздо проще. Довольно трудно в такой ситуации отказаться от этой символики, особенно когда таких оценок много. Можно, правда, нумеровать возникающие константы (в какой-то книжке по аналитической теории чисел автор дошёл до $C_{67}$, для не привыкших к такому стилю несколько необычно смотрится).

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551930 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

Можно, правда, нумеровать возникающие константы (в какой-то книжке по аналитической теории чисел автор дошёл до $C_{67}$, для не привыкших к такому стилю несколько необычно смотрится).

А можно взять $C = \max \{ C_1, \ldots, C_{67} \}$ и писать везде одну и ту же $C$.

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #551929 писал(а):

И вообще, лучше говорить не про НОД двух объектов, а про главный идеал, равный сумме других главных идеалов

В факториальном, но не кольце главных идеалов $\mathbb{R}[x,y]$ вычислим $\gcd{(x,y)}$ ... Что-то разное получится. Нет?

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #551937 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #551929 писал(а):

В факториальном, но не кольце главных идеалов $\mathbb{R}[x,y]$ вычислим $\gcd{(x,y)}$ ... Что-то разное получится. Нет?

Ой! Пролучается, надо не про сумму идеалов говорить, а про минимальный по включению главный идеал, содержащий эту сумму...

[ewert]

nnosipov в сообщении #551909 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #551899 писал(а):

А потом удивляемся, откуда в задачниках возникают глупости типа процитированной выше $o(0.02)$

Такого ни разу не видел. А халтура всегда была и будет.

Между тем тот сайт принадлежит не какой-то там частной лавочке, а вполне себе ФГБУ «Национальное аккредитационное агентство в сфере образования».

Занятно, что при всей анекдотической безграмотности этой формулировки в заблуждение она никого не введёт: любой читатель мгновенно поймёт, что имелось в виду, хоть и хмыкнет. А вот другой прикол из того же источника (только не по "Математике" вообще, а конкретно по "Дифференциальным уравнениям") -- уже гораздо менее безобиден. По памяти он выглядел примерно так:

"Дана задача Коши: $y'(x)=y^2$, $y(0)=1$ в прямоугольнике $(x,y)\in[-1;1]\times[0;2]$. На какой промежуток теорема существования и единственности гарантирует продолжимость решения?"

(правая часть ДУ там была другая -- не помню, какая конкретно). При всей внешней благопристойности формулировки тут нужно много времени для того, чтобы хотя бы понять, о чём и каким местом думали сочинители сего шедевра методической мысли. Мне это удалось только после того, как методом научного тыка выкопал ответ, который сами авторы считают правильным: $-[\frac14;\frac14]$ (да и то не уверен, что правильно расшифровал их чаяния).

Профессор Снэйп в сообщении #551918 писал(а):

В частности, они не должны содержать о-символики

Жизни не будет. И вот пример:

Профессор Снэйп в сообщении #551896 писал(а):

$$ f(x) = \sum_{i = 0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i + o(x^n) $$

вместо

$$ f(x) = \sum_{i = 0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i + r(x^n), \,\,\,\,\, \text{ где } r(x) \in o(x). $$

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #551940 писал(а):

Жизни не будет...

Ну тогда надо хотя бы чётко проговаривать, в каком смысле употребляется о-символика. Хотя бы один раз в начале книги, но обязательно большими жирными буквами.

[ewert]

nnosipov в сообщении #551930 писал(а):

Бывает так, что в оценке $f(x)=O(g(x))$ константу, которая там сидит, не то что выписать, даже оценить сверху очень трудно, а доказать существование такой константы может быть гораздо проще.

Это не то что бывает -- это практически всегда так. Даже если эта константа выписывается явно и даже точна (скажем, при численном интегрировании) -- приктически она никогда и никому не нужна.

[nnosipov]

ewert в сообщении #551943 писал(а):

практически она никогда и никому не нужна

Ну, это Вы погорячились . Столько диссертаций защищено на эту тему, что говорить о практической ненужности просто невозможно.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #551942 писал(а):

Ну тогда надо хотя бы чётко проговаривать, в каком смысле употребляется о-символика.

А это всегда очень чётко и проговаривается. Во всяком случае, в курсах матанализа. В дальнейшем (скажем, в тех же дифурах) -- уже не обязательно. Вы не поверите, но в курсе дифуров обычно даже определение дифференцирования не даётся!

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #551947 писал(а):

А это всегда очень чётко и проговаривается...

У меня вот нет на полке "фихтенгольца", но в голове такие смутные воспоминания со студенческих времён, что там нихрена не проговаривается.

А вот в "демидовиче" вроде проговаривается... Не поленился, специально посмотрел!