Неизвестная формула

[nnosipov]

Отправить всю эту ерунду в "Чулан".

[ishhan]

mclaudt в сообщении #551886 писал(а):

Ну то есть с точностью до знака $(x+y)(x+z)(y+z)$? И с чего бы это ей иметь делителями простые числа, большие или даже равные $x+y+z$? Детский сад.

Я же говорил, что в разложении значения формулы присутствуют числа меньшие чем$ x+y+z$, для положительных $x,y,z$.
Хотелось узнать вот что:
Можно ли аналитически объяснить то, что с каждым из переменных $x,y,z,s$ по отдельности, форма $(x+s)(y+s)(z+s)$ обязательно имеет взаимно простой делитель?

-- Вс мар 25, 2012 11:37:06 --

У меня такие соображения:
Если форма симметрическая от четырёх переменных $(s+x)(s+y)(s+z) $, а соотношение $x+y+z+s=0 $определяет каждое из переменных$ x,y,z,s,$, как форму симметрическую от трёх переменных:

$x=-y-z-s$

$y=-x-z-s$

$z=-y-x-s$

$s=-x-y-s$

То это и является причиной того, что в разложении на множители $(s+x)(s+y)(s+z) $ всегда найдутся такие делители $q_x,q_y,q_z,q_s,$ которые не входят в разложение переменных, соответственно $x,y,z,s$.
Прошу разъяснение у экспертов, а потом уже в чулан

[nnosipov]

ishhan в сообщении #551911 писал(а):

в разложении на множители $(s+x)(s+y)(s+z) $ всегда найдутся такие делители $q_x,q_y,q_z,q_s,$ которые не входят в разложение переменных, соответственно $x,y,z,s$.

То есть, например, найдётся простое $q_x$, которое делит $(s+x)(s+y)(s+z)$ и не делит $x$? Это Вы хотите выяснить?

[ishhan]

nnosipov в сообщении #551944 писал(а):

То есть, например, найдётся простое $q_x$, которое делит $(s+x)(s+y)(s+z)$ и не делит $x$? Это Вы хотите выяснить?

Да это.
У меня есть примитивные соображения о возможных делителях симметрической формы от четырёх переменных.
Условие того что они есть, я представляю себе следующим образом:

$ax\equiv{ymodQ}$

$ay\equiv{zmodQ}$

$az\equiv{smodQ}$

$as\equiv{xmodQ}$

отсюда следует, что в кольце по модулю $Q$ должен быть элемент $a

$a^4 \equiv{1modQ}$

Алгебраический вид этих условий, относящийся к сравнениям говорит о том, что делитель $Q$ должен быть взаимно прост с каждым из переменных $x,y,z,s$
Проверял численно всё работает и этим можно пользоваться, но всё же полной ясности пока нет.

[nnosipov]

ishhan в сообщении #551956 писал(а):

Да это.

Целые числа $x$, $y$, $z$ произвольны или же есть какие-то ограничения на них?

[ishhan]

nnosipov в сообщении #551961 писал(а):

ishhan в сообщении #551956 писал(а):

Да это.

Целые числа $x$, $y$, $z$ произвольны или же есть какие-то ограничения на них?

Числа x,y,z произвольные целые положительные и отрицательные, но не нули.

[nnosipov]

ishhan в сообщении #551968 писал(а):

Числа x,y,z произвольные, но два из них не нули.

Тогда контрпример: $x=y=z=2$.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #551969 писал(а):

ishhan в сообщении #551968 писал(а):

Числа x,y,z произвольные, но два из них не нули.

Тогда контрпример: $x=y=z=2$.

Надо подумать, хотя это скорее всего относится к тривиальному примеру.
.....
Посмотрите пожалуйста выше на условие существование делителя $Q$ симметрической формы от четырёх переменных записанное в виде четырёх сравнений, подходит ли модуль $2$ под условие$ a^4=1$ по модулю $2$, ведь$ a=2$.
Не подходит и всё же я немного запарился и правильно было бы Вам ответить, что x,y,z попарно просты.
Как в этом случае?
А другие соображения, общего характера, по поводу того, что формы с помощью которых записаны переменные$ x,y,z,s $симметрические от трёх, а форма $(x+s)(y+s)(z+s)$ симметрическая от трёх и четырёх переменных одновременно?
Мне бы хотелось получить разъяснение в этом направлении.
С уважением, ishhan.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #551969 писал(а):

Тогда контрпример: $x=y=z=2$.

Так это вовсе не контрпример!
Предлагая для проверки свойств однородной формы $(x+y)(x+z)(y+z)$ тройку $ (ax,ay,az)=2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1$, Вы, тем самым предлагаете тройку переменных $x,y,z=1,1,1$.
Разберём Ваш контрпример для этой тройки:
$(x+y)(x+z)(y+z)=2\cdot2\cdot2=2^3$
Получим значение формы равное 8 и это число имеет взаимно простой делитель 2 с каждым переменным $x=y=z=1$, а также с числом $s=-x-y-z=-1-1-1=-3$. Именно это я и утверждаю.
Кроме того, переменные от которых находится значение формы:
$-(x+y)(x+z)(y+z)=(x+s)(y+s)(z+s)=xyz+syz+xsz+xys$
связаны соотношением $x+y+z+s=0$, в которое ставить четыре числа одинаковой кратности $ax,ay,az,az$ как- то некорректно.
А условие, которое налагается на целые числа $x,y,z,s $и будет как раз в том заключаться, что все четыре числа $x,y,z,s $ не имеют одну и ту же кратность $a$ или не равны нулю по модулю $a$ одновременно. Они не обязательно попарно просты и любые два из них могут быть кратными, но не три, так как в этом случае и четвёртое число будет иметь ту же кратность в силу соотношения $x+y+z+s=0$
Поэтому Ваш контрпример, к сожалению, представляет собой тривиальный случай.

[nnosipov]

ishhan в сообщении #552177 писал(а):

Так это вовсе не контрпример!
Предлагая для проверки свойств однородной формы $(x+y)(x+z)(y+z)$ тройку $ (ax,ay,az)=2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1$, Вы, тем самым предлагаете тройку переменных $x,y,z=1,1,1$.

Тяжёлый вы народ, ферматисты. Это

ishhan в сообщении #551968 писал(а):

Числа x,y,z произвольные целые положительные и отрицательные, но не нули.

кто написал? Условие

ishhan в сообщении #551971 писал(а):

x,y,z попарно просты

Вы уже позже добавили. Ясен пень, что этому условию тот контрпример не удовлетворяет.

А вот $x=-217$, $y=153$, $z=190$ --- удовлетворяет. Вообще говоря, могли бы и сами найти, если бы не ленились думать. И главное: учитесь точно формулировать Ваши вопросы и гипотезы (потому что каждый раз выяснять, что же именно Вы имеете в виду, уже, мягко говоря, надоедает).

[ishhan]

Прежде всего, спасибо за примерчик.
Буду разбираться детально, но Вы как и в прошлый раз нашли интересный момент, который меня, как любителя ВТФ, заинтересовал и слегка насторожил

nnosipov в сообщении #552201 писал(а):

Вы уже позже добавили. Ясен пень, что этому условию тот контрпример не удовлетворяет.

А вот $x=-217$, $y=153$, $z=190$ --- удовлетворяет.

Добавим к нему четвёртое число что бы в сумме получился ноль получим $s= -126$ и того получаем, что в условии $x+y+z+s=0$
два положительных и два отрицательных числа, так как имеем $-217+153+190-126=0$ которые представляют число$ 7^3$.
Опять же значение формы $(x+y)(x+z)(z+y)=(-217+153)(-217+190)(153+290)=(-3^3)(-4^3)(7^3)$
Отмечу, как небольшой минус то, что такой набор значений $x+y=-3^3, x+z=-4^3, y+z=7^3,$ находится в противоречии с условиями целостности для ВТФ 3.
Красивый пример, с изюминкой
Интересно, как будет выглядеть пример в котором среди чисел $x,y,z,s$ три положительных и одно отрицательное.
Попробую сам поискать, но и от помощи не откажусь.
И всё же запись $(x+y)(x+z)(z+y)$(а есть ещё формы четной степени с такой же симметрией) имеет необычную симметрию свойственную симметрической форме от четырёх переменных несмотря на то, что записывается от трёх переменных, к слову сказать, мне не встречалось в литературе ни чего похожего и я буду копать дальше.
Если кто нибудь пришлёт ссылку на подобную тему буду благодарен.