Топологические линейный пространства.

[SergNarrow]

Здравствуйте!
Посоветуйте пожалуйста что да как. Сначала определения и постановка, а потом будет вопрос.
Определения.
Пусть $L$ линейное пространство. Назовём ядром $J(E)$ произвольного множества $E \subset L$ совокупность таких его точек $x$, что для каждого $y \in L$ найдётся такое число $\varepsilon = \varepsilon(y)$, что $x + ty\inE$ при $|t|<\varepsilon$. Выпуклое множество ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.

Пусть $L$ линейное пространство. Множество $U\subset L$ называется симметричным, если из $x\in U$ следует $-x\in U$.

Пусть $L$ линейное пространство. Назовём $\beta$ - семейство всех выпуклых симметричных подмножеств пространства $L$ совпадающих со своим ядром.

Пусть $E$ топологическое линейное пространство (далее ТЛП). Оно называется локально выпуклым, если в нём всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество
Постановка.
Доказать, что семейство $\beta$ является определяющим семейством окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой отделимой топологии в пространстве $L$. (Эта топология называется ядерно-выпуклой)

Замечание.
Все определения из Колмогорова Фомина и задача тоже оттуда. В седьмом издании на странице 183. Также замечу, что определение локально выпуклой отделимой топологии я не нашёл в учебнике, но подозреваю, что под ним понимается следующее: если в линейном пространстве введена такая топология, то оно становиться 1) ТЛП 2) Локально выпуклым ТЛП 3)Выполняется третья(по классификации К.Ф.) аксиома отделимости, т.е. точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности. При попытке доказательства я использовал такую трактовку этого определения и, не отрицаю, что она заведомо может быть ошибочна.

Первые шаги в доказательстве.
Пусть задано линейное пространство $L$. Рассмотрим свойства семейства $\beta$. Рассмотрим произвольное множество $B \in \beta$. В силу выпуклости и симметричности можно записать: $\frac{1}{2}(-x) + \frac{1}{2}x \in B$. Значит любое множество из семейства $B$ содержит 0. Далее несложные рассуждения приводят к тому, что произвольное объединение множеств из семейства $\beta$ является симметричным множеством. Пусть $A,B \subset \beta$. Рассмотрим их пересечение. Если $x \in A\cap B$, то $x \in A$ и $x \in B$, но так как $A,B$ - симметричные, то и $-x \in A$ и $-x \in B$, это означает, что $-x \in A\cap B$. Получаем, что $A\cap B$ также симметричное множество. Я думаю, но могу конечно ошибаться, что эту логику можно провести с произвольным набором множеств из семейства $\beta$ и получить, что пересечение произвольного числа множеств из $\beta$ есть симметричное множество. Также известно,что пересечение произвольного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Что делать с ядром такого произвольного пересечения - не знаю. Итак полученные свойства семейства $\beta$ в произвольном линейном пространстве $L$:
1) Произвольное объединение множеств из этого семейства есть симметричное множество.
2) Произвольное пересечение множеств из этого семейства есть выпуклое? симметричное множество.
Далее. Пусть в $L$ введена некоторая ядерно-выпуклая топология. Заметим, что если пространство $L$ является локально выпуклым, то для любой точки $x \in L$ и любой её окрестности $U$ найдётся такая выпуклая окрестность $V$, что $x \in V \subset U$. Нас интересует это свойство для $x = 0$. Из написанного следует, что в любой окрестности нуля есть выпуклая окрестность нуля. Это означает, что определяющую систему окрестностей нуля в нашем случае можно задать как систему всех выпуклых окрестностей нуля. Назовём её $\theta$.
Далее, как мне кажется, надо рассмотреть в каких соотношениях находятся семейства $\theta$ и $\beta$ при заданной ядерно-выпуклой топологии. А именно:
1)Показать, что семейство $\beta$ есть семейство открытых множеств.
2) В любую выпуклую окрестность нуля можно засунуть множество из семейства $\beta$
Тогда получиться,что в любой окрестности нуля есть множество из семейства $\beta$, это множество содержит ноль, и является открытым - значит оно также является окрестностью нуля. Требуемое утверждение.

Загвоздка в том что пункт 1) и 2) у меня не получается доказать.

Спасибо за то, что прочитали до конца. На вот эту http://dxdy.ru/topic24354.html просьба сразу не отсылать - читал, но не помогло. Пишу в ТЕХе не часто - возможны опечатки.

[Someone]

SergNarrow в сообщении #551718 писал(а):

определение локально выпуклой отделимой топологии я не нашёл в учебнике

Там в предметном указателе можно найти термин "отделимые топологические пространства".

[Oleg Zubelevich]

SergNarrow в сообщении #551718 писал(а):

Назовём $\beta$ - семейство всех выпуклых симметричных подмножеств пространства $L$ совпадающих со своим ядром.

я думаю, что выпуклые симметричные множества совпадающие со своим ядром являются также абсолютно выпуклыми и поглощающими. Можно выписывать функционалы Минковского

[SergNarrow]

Цитата:

Там в предметном указателе можно найти термин "отделимые топологические пространства".

Уважаемый Someone, такой термин действительно есть. Согласен с вами, что странно задавать вопрос по доказательству утверждения, в состав которого входит не понятое определение.Но здесь дело обстоит несколько иначе - формального определения ядерно-выпуклой топологии в книге нет. Есть только рассуждения на тему, какой должна быть топология в линейном пространстве,чтобы получить локально выпуклое ТЛП. Исходя из этого я и построил рассуждение(может быть ошибочное, в отличии от данного в К.Ф),что ядерно-выпуклая топология в моём (может быть ошибочном) представлении есть топология с перечисленными в первом сообщении в Замечании свойствами.
Более грамотно будет задать вопрос: Правильно ли моё понимание ядерно-выпуклой топологии?

Если оно всё же правильное, то спрошу ещё.
Уважаемый Oleg zubelevich, каков следующий шаг после выписывания функционалов Минковского для семейства $\beta$?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $P=\{p_\alpha\}_{\alpha\in\beta}$ -- функционалы Минковского, построеннные по всем элементам из $\beta$. Эти функционалы являются преднормами.
Заметим, что вообще для любой преднормы $p$ верно следующее $\{x\in L\mid p(x)<1\}\in\beta$ Поэтому, любая преднорма принадлежит множеству $P$.

Зададим локально выпуклую топологию взяв в качестве базы открытых окрестностей нуля множества вида

$$\{x\in L\mid \max_{\alpha\in A}p_\alpha(x)<r\}$$

где $A$ -- пробегает всевозможные конечные подмножества $\beta$, $r>0$.
Проверим, что $\beta$ является определяющей системой окрестностей нуля для этой топологии...
Т.е. ядерно выпуклая топология это локально выпуклая топология в которой непрерывны вообще все преднормы.

Отделимость означает, что для каждого $x\ne 0$ найдется $p_\alpha$ такая, что $p_\alpha(x)\ne 0$. Для проверки этого используйте базис Гамеля

[Someone]

SergNarrow в сообщении #552179 писал(а):

Уважаемый Someone, такой термин действительно есть. Согласен с вами, что странно задавать вопрос по доказательству утверждения, в состав которого входит не понятое определение.

Я имел в виду Ваш пункт 3):

SergNarrow в сообщении #551718 писал(а):

3)Выполняется третья(по классификации К.Ф.) аксиома отделимости, т.е. точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Если поискать в книге Колмогорова и Фомина этот термин, то оказывается, что имеется в виду не $T_3$, а вовсе даже $T_1$. Правда, тут же доказывается, что для линейных топологических пространств из $T_1$ следует $T_3$. Так что каких-либо изменений в связи с этим не требуется.

[SergNarrow]

Спасибо, будем разбираться. Просьба уважаемым модераторам не закрывать пока тему,так как вопросы скорее всего ещё возникнут и именно по этой теме.

[SergNarrow]

После разбора предложенной идеи вопросов стало больше чем ответов. Приведу теорему из книги Городецкого В.В и другие "Методы решения задач по функциональному анализу", страница 222.

Теорема 1(о задании топологии с помощью окрестностей): Пусть $X$ - произвольное множество и каждому элементу $x\inX$ каким нибудь образом сопоставлена система подмножеств $S_{x}$ из $X$ так, что выполняются следующие свойства:
а)точка $x$ принадлежит любому подмножеству из $S_{x}$;
б)если $U \in S_{x}$ и $U \subset V$, то $V \in S_{x}$;
в)пересечение конечного числа подмножеств из $S_{x}$ принадлежит $S_{x}$;
г)для каждого $U \in S_{x}$ существует $V$ из $S_{x}$, такое, что $V \subset U$ и $V \in S_{y}$ для всех $y \in V$.
Тогда в множестве $X$ существует единственная топология $\tau$ такая, что система всех окрестностей в этой топологии совпадает с системой подмножеств $S_{x}$ при всех $x\inX$.

Замечу что в линейном пространстве справедливость условий а)-г) необходимо проверять только для точки $x=0$;

Перед тем как описывать проблему, скажу что скорее всего где-то ошибка в понимании или в рассуждении.

К чему я всё это написал:

Oleg Zubelevich в сообщении #552230 писал(а):

...

Зададим локально выпуклую топологию взяв в качестве базы открытых окрестностей нуля множества вида

$$\{x\in L\mid \max_{\alpha\in A}p_\alpha(x)<r\}$$

где $A$ -- пробегает всевозможные конечные подмножества $\beta$, $r>0$.
Проверим, что $\beta$ является определяющей системой окрестностей нуля для этой топологии...
Т.е. ядерно выпуклая топология это локально выпуклая топология в которой непрерывны вообще все преднормы.
...

Идея мне очень нравиться, но некоторые моменты не понятны:
Задавая систему множеств

$$\{x\in L\mid \max_{\alpha\in A}p_\alpha(x)<r\}$$

где $A$ -- пробегает всевозможные конечные подмножества $\beta$, $r>0$. Мы говорим что она является базой открытых окрестностей нуля в некоторой локально выпуклой топологии. Вопрос в какой топологии она является базой, я считаю актуальным. Изящный ответ при несколько иной базе окрестностей нуля я нашёл в том же Городецком, не так далеко, от приведённой теоремы. Обозначим для краткости систему, состоящую из всех множество вида

$$\{x\in L\mid \max_{\alpha\in A}p_\alpha(x)<r\}$$

где $A$ -- пробегает всевозможные конечные подмножества $\beta$, $r>0$ за $\zeta$. Назовём множестов $G$ открытым, если для любой точки $x \in G$ существует множество $U$ указанного вида $\zeta$, что $ x+U \subset G $.

Задавая таким образом множества, которые 1) содержат точку $x=0$ 2)удовлетворяют вышеописанному критерию, мы получаем систему окрестностей нуля, которая может быть задаёт топологию(назовём её $\eta$). Я пишу может быть, так как условие б) из теоремы 1 проверяется с трудом, точнее у меня в обще не проверяется(уверен что более сильные студенты способны показать, но у меня не получается). И только тогда топологию $\eta$ можно назвать локально выпуклой топологией, а систему $\zeta$ - базой окрестности нуля в этой топологии.

Далее предположим,что всё-что нужно выполняется. По задумке, выбор системы $\zeta$ был основан на том,чтобы легко было показать,что в каждом множество из $\zeta$ найдётся множество из $\beta$. При указанном строении множеств из $\zeta$ это действительно не сложно.Но как показать, что множества из $\beta$ являются открытыми в топологии $\eta$? Идея понятна - показать по определению, что: "множество $G$ открыто, если для любой точки $x\inG$ существует множество $U$ указанного вида $\zeta$, что $x+U \subset G$.
". Но вот строго показать никак не получается.

Итак для себя я вижу две проблемы - условие б), открытость множеств из $\beta$.