Оператор эволюции в случае меняющегося оператора Гамильтона

[ChaosProcess]

$U(t)=Texp(-\frac i h\int\limits_{0}^{t} H(\tau)d\tau)$
Что такое оператор T?
P.S. h - перечеркнутая постоянная Планка(не нашел как ее обозначить)

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #551717 писал(а):

Что такое оператор T?

Если экспоненту понимать через ряд, то в этом ряду будут H, относящиеся к разным моментам времени. Поскольку в общем случае они не коммутируют, возникает вопрос в каком порядке их расставлять. Оператор Т их упорядычивает определенным образом: все более поздние левее.

-- Сб мар 24, 2012 21:49:23 --

ChaosProcess в сообщении #551717 писал(а):

h - перечеркнутая постоянная Планка(не нашел как ее обозначить)

В латехе это обозначается как \hbar

[ChaosProcess]

Alex-Yu в сообщении #551726 писал(а):

ChaosProcess в сообщении #551717 писал(а):

Что такое оператор T?

Если экспоненту понимать через ряд, то в этом ряду будут H, относящиеся к разным моментам времени. Поскольку в общем случае они не коммутируют, возникает вопрос в каком порядке их расставлять. Оператор Т их упорядычивает определенным образом: все более поздние левее.

-- Сб мар 24, 2012 21:49:23 --

ChaosProcess в сообщении #551717 писал(а):

h - перечеркнутая постоянная Планка(не нашел как ее обозначить)

В латехе это обозначается как \hbar

Ну допустим гамильтониан действительно не будет коммутировать сам с собой в разные моменты времени. Раскладываю экспоненту, будет сумма степеней интеграла. Там же нет произведений гамильтонианов. И где тогда будет играть роль некоммутативность?

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #551728 писал(а):

Там же нет произведений гамильтонианов. И где тогда будет играть роль некоммутативность?

Как это нет? Будут выражения типа

$$ \int\dots\int H(\tau_1)\dots H(\tau_n)d\tau_1 \dots d\tau_n $$

Во всяком случае для практических вычислений надо степени интегралов расписать именно в таком виде.
И в каком порядке ставить разные H?

По существу написанное -- это определение в каком именно смысле надо понимать эту, так называемую, Т-экспоненту. Доказательство того, что надо понимать именно в таком смысле -- отдельная задача, которую можно решать разными способами. Например можно записать дифуравнение для оператора эволюции и показать, что так получается правильно (во всяком случае в смысле ряда). При этом потребуется преобразовывать интегралы с разными верхними пределами в интегралы с одинаковыми пределами. Вот при этом Т-упорядочение в каждом члене ряда и появится. Но это уже лучше в книжке посмотреть.

[ChaosProcess]

Alex-Yu в сообщении #551734 писал(а):

Как это нет? Будут выражения типа

А если сначала считать каждый интеграл и получить некую матрицу, то матрицы получатся коммутирующими.

В смысле они будут просто одинаковыми(интегрируем же мы до одного и того же момента времени)

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #551736 писал(а):

А если сначала считать каждый интеграл и получить некую матрицу, то матрицы получатся коммутирующими.

Это понятно. Только во-первых не факт, что так получится действительно оператор эволюции, во-вторых возникнет вычислительная проблема как считать интеграл от оператора. И выше я дописал, прочитайте.

[ChaosProcess]

Alex-Yu в сообщении #551734 писал(а):

Доказательство того, что надо понимать именно в таком смысле -- отдельная задача, которую можно решать разными способами. Например можно записать дифуравнение для оператора эволюции и показать, что так получается правильно (во всяком случае в смысле ряда).

А можете показать или дать ссылку на то как это сделать?

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #551740 писал(а):

А можете показать или дать ссылку на то как это сделать?

Да почти любая книжка по КТП. Например Вайнберг "Квантовая теория поля". Точно помню что это есть именно в таком виде в Нелипа "Физика элементарных частиц", именно из этой книжки я впервые это узнал. Может более простое и наглядное доказательство (другое), что надо именно так упорядочивать, можно найти в т.4 Ландау-Лифшица. Но, пожалуй, оно менее математичеси корректное. Но очень очевидное интуитивно.

[ChaosProcess]

Интересно, спасибо.

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #551743 писал(а):

Интересно, спасибо.

Добавку посмотрите. Не получается у меня сразу целиком пост написать, редактировать приходится.

[type2b]

смысл в том, что оператор эволюции должен удовлетворять уравнению $i\hbar\partial_t U=H(t) U$, где на $H$ умножается именно слева. Для этого нужно, чтобы было $U(t+\delta t,0)=U(t+\delta t,t) U(t,0)$, что выполняется при определении с T-экспонентой

[Oleg Zubelevich]

ChaosProcess в сообщении #551717 писал(а):

$U(t)=Texp(-\frac i h\int\limits_{0}^{t} H(\tau)d\tau)$
Что такое оператор T?

Формально говоря, пусть у нас есть динамическая система $\dot x=A(t)x,\quad x(0)=\hat x$, где $x$ принадлежит соответствующему банахову пространству. Решение этой системы выражается через некоторый линейный оператор $X(t)$ так: $x(t)=X(t)\hat x$. Так вот некоторым очень хочется написать формулу
$x(t)=e^{\int_0^tA(s)ds}\hat x$ ,только она неверна, потому, что, вообще говоря, $A$ не коммутирует со своим интегралом. Поэтому они используют глубокомысленный трюк: пишут $x(t)=Te^{\int_0^tA(s)ds}\hat x$. Естественно, $T=X(t)e^{-\int_0^tA(s)ds}$ и ничего больше

[Munin]

Есть ещё отдельная книжка
Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Методы некоммутативного анализа. - М.: Техносфера, 2002. - 336с.
посвящённая математической стороне дела.