Найти экстремали функционалов

[freedom_of_heart]

$\dot u(1)=0$

$\dot u(0)=0$

$u(1)=0$


А вот $u(0)$ не понятно чему равно. Ведь конец $x(0)$ не закреплен, значит $u(0)$ может принимать любые значения

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #551511 писал(а):

Ведь конец $x(0)$ не закреплен, значит $u(0)$ может принимать любые значения

Это лишь означает, что задача по рассеянности недоопределена. Естественно, и решений у неё бесконечно много.

[MaximVD]

ewert
Задача доопределена и решение там единственно.

freedom_of_heart
Посмотрите моё предыдущее сообщение я там кое-что добавил.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551522 писал(а):

ewert
Задача доопределена и решение там единственно.

freedom_of_heart
Посмотрите моё предыдущее сообщение я там кое-что добавил.

Ну тогда получается, что и эта производная ноль.

Значит тот интеграл равен нулю. Правильно? Только что это значит?

[MaximVD]

Правильно, интеграл равен нулю. Теперь вспоминаем откуда взялся этот интеграл.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551535 писал(а):

Правильно, интеграл равен нулю. Теперь вспоминаем откуда взялся этот интеграл.

Ну это приращение. Мы хотели доказать ,что оно неотрицательно, но оно оказалось нулевым!

Ну это же и есть неотрицательно приращение, значит -- минимум)

[MaximVD]

freedom_of_heart в сообщении #551556 писал(а):

Ну это приращение. Мы хотели доказать ,что оно неотрицательно, но оно оказалось нулевым!

Там вроде было ещё одно слагаемое с $\ddot{u}^2 = (\ddot{y}-\ddot{x}_C)^2$, которое как раз неотрицательно. Только это приращение для $x_C$. Теперь осталось только вспомнить как соотносится $x^*$ и $x_C$, чтобы понять что мы доказали.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551561 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #551556 писал(а):

Ну это приращение. Мы хотели доказать ,что оно неотрицательно, но оно оказалось нулевым!

Там вроде было ещё одно слагаемое с $\ddot{u}^2 = (\ddot{y}-\ddot{x}_C)^2$, которое как раз неотрицательно. Только это приращение для $x_C$. Теперь осталось только вспомнить как соотносится $x^*$ и $x_C$, чтобы понять что мы доказали.

Ну $x^*$ -- экстремаль, в которой мы проверяем минимум, а
$x_C$ это семейство экстремалей. То есть $x^*$ - частный случай для $x_C$ при вполне определенной $C$.
Если мы доказали для $x_C$, значит доказали для $x^*$

Поняла, видимо для второй задачи аналогично (думаю, что разберусь). А как с Понтрягиным?

[MaximVD]

Нет, нет, нет и ещё раз нет.
Чтобы доказать неотрицательность приращения

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt $$

пришлось для этого фиксированного $y$ подбирать специальное $C$, чтобы $y(0) = x_C(0)$ и именно за счёт этого мы и получили неотрицательность, т.е. мы получили, что для любого $y$, удовлетворяющего условиям на концах отрезка, существует такое $C$, что

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt \ge \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt. $$

Тут надо что-то сказать про $x^*$. Чтобы это сказать, надо вспомнить, как было выбрано $x^*$ из всех $x_C$.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551573 писал(а):

Нет, нет, нет и ещё раз нет.
Чтобы доказать неотрицательность приращения

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt $$

пришлось для этого фиксированного $y$ подбирать специальное $C$, чтобы $y(0) = x_C(0)$ и именно за счёт этого мы и получили неотрицательность, т.е. мы получили, что для любого $y$, удовлетворяющего условиям на концах отрезка, существует такое $C$, что

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt \ge \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt. $$

Тут надо что-то сказать про $x^*$. Чтобы это сказать, надо вспомнить, как было выбрано $x^*$ из всех $x_C$.

Ну я это поняла, что

$x^*\leqslant x_C$ для любого $x_C$

А значит $x^*\leqslant y$

[MaximVD]

Наконец-то. Молодец! Только там не просто $x^* \le x_C$, а ещё производные, квадраты и интегралы всякие.
Вторая задача решается аналогично. Только там в одном месте всё будем немного посложнее, но идея точно такая же.

Про принцип максимума Понтрягина, если вам не надоело читать мои сообщения, поговорим завтра. Либо вам расскажет кто-нибудь другой.

[freedom_of_heart]

Спасибо огромное за помощь!!! Надеюсь, что удастся завтра выйти в интернет

[MaximVD]

Про принцип максимума Понтрягина попробуйте сначала самостоятельно прочитать, например, здесь, параграф 2.4. Там же на странице 455 разбирается пример очень похожий на вашу задачу. Либо можете посмотреть здесь, пункты 1.5.3 и 1.5.4 (там рассматривается задача со свободным концом).

Если не разберётесь, то спрашивайте. Даже лучше будет создать новую тему про принцип максимума Понтрягина.

[freedom_of_heart]

Хорошо, спасибо. Вечером посмотрю!

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551668 писал(а):

Про принцип максимума Понтрягина попробуйте сначала самостоятельно прочитать, например, здесь, параграф 2.4. Там же на странице 455 разбирается пример очень похожий на вашу задачу. Либо можете посмотреть здесь, пункты 1.5.3 и 1.5.4 (там рассматривается задача со свободным концом).

Если не разберётесь, то спрашивайте. Даже лучше будет создать новую тему про принцип максимума Понтрягина.

Почитала, но теория выглядит очень уж сложной для меня...Новую тему создала...