(2^n-1)(3^n-1)=m^2

[juna]

Докажите, что не существует натуральных $n,m$, что выполняется $(2^n-1)(3^n-1)=m^2$.
Задача взята с MathLinks.

[Руст]

Насколько я понимаю, задача не имеет элементарного решения. Единственное, что легко устанавливается это:
1. n - чётно (n=1 не годится, если n>1 нечётно, то слева число равно 6(mod 8), что не может быть для квадрата).
2. n делится на 6. Так как первый множитель делится на 3, второй никогда не делится на 3, то первый должен делится на 9, что равносильно делимости n на 6.
3. n делится на 12, точнее $ord_2(n)$ - чётно, и $ord_3(n)$ нечётно, что устанавливается рассмотрением, на какую степень двойки и тройки делится выражение слева. Таким образом $n=12*4^k*9^m*n_1, \ (n_1,6)=1.$
Далее разветвляется. Или n делится на 3 в степени не меньше 2, или должен делится на 73.
Суть решения заключается в доказательстве существования простого числа p, не делящего один из множителе (скорее первый) и делящий другой в нечётной степени.

[нг]

Артамонов Ю.Н.:
У Вас есть решение? Тогда, наверное, лучше перенести в олимпиадные задачи. Если нет, то, наверное, оставим здесь.

[juna]

Это сложная задача. На mathlinks утверждается, что положительное решение существует, но нетривиально.
То, что элементарно строго устанавливается сделал Руст. Только мне непонятно, откуда следует

Руст писал(а):

Или n делится на 3 в степени не меньше 2, или должен делится на 73.

Я имею лишь общий взгляд на задачу.
Из abc-гипотезы следует, что числа $3^n-1$ и $2^n-1$ при больших $n$ содержат в своем разложении на простые очень большое количество простых в первой степени. Если бы было верно искомое при больших $n$, то $\text {НОД} (2^n-1,3^n-1)$ имел бы существенный рост, а отношение $\frac {3^n-1}{2^n-1}$ было бы почти ограничено - что, очевидно, неверно.
Таким образом, может быть только конечное число решений.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Это сложная задача. На mathlinks утверждается, что положительное решение существует, но нетривиально.
То, что элементарно строго устанавливается сделал Руст. Только мне непонятно, откуда следует

Руст писал(а):

Или n делится на 3 в степени не меньше 2, или должен делится на 73.

$3^{12}-1$ делится на 73. Cоответственно или $3^n-1$ должен делится на 73 в квадрате (в этом случае n должен делится на 73 или с учётом установленного ранее на 73*12) или и первый множитель должен делится на 73 (в этом случае n делится на 9, т.е. с учётом установленного ранее на 108).

[maxal]

Проверяя для $n=12k$ разрешимость $(2^n-1)(3^n-1)=m^2$ по модулю простого числа $p$, получаем:
$p=17$ дает делимость $n$ на $2^3$;
$p=31$ дает делимость $n$ на $5$;
$p=43$ дает делимость $n$ на $7$.

Поэтому $n$ обязано делится на $840.$

Аналогично, проверяя для $n=840k$ разрешимость $(2^n-1)(3^n-1)=m^2$ по модулю простого числа $p$, получаем:
$p=193$ дает делимость $n$ на $2^4$;
$p=311$ дает делимость $n$ на $31$;
$p=379$ дает делимость $n$ на $3^3$';
$p=491$ дает делимость $n$ на $7^2$;
$p=601$ дает делимость $n$ на $5^2$;
$p=1171$ дает делимость $n$ на $13$;
$p=2311$ дает делимость $n$ на $11$;
$p=55987$ дает делимость $n$ на $31\cdot 43$;
$p=58171$ дает делимость $n$ на $277$;
$p=71191$ дает делимость $n$ на $113$;
$p=585131$ дает делимость $n$ на $643$.

Поэтому $n$ делится на

$$2^4\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 31\cdot 43\cdot 113\cdot 277\cdot 643 = 2030276593861916400$$

и т.д.

[RIP]

По-моему, пытаться доказать утверждение таким образом - это дохлый номер. (Это ни на чем не основанное имхо.)

[maxal]

Ну почему же? На этом пути достаточно "всего лишь" показать, что каждый раз можно нарастить делитель $n$ новым простым числом.
Но тут уже надо думать...

Добавлено спустя 9 минут 31 секунду:

Вот, кстати, ссылка на исходный топик на MathLinks:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=127680

[RIP]

Вот здесь можно скачать статью, где доказывается неразрешимость уравнения $(2^n-1)(3^m-1)=x^2$ в натуральных $n,m,x$ (док-во занимает меньше 1 страницы и совершенно элементарно, требуется только быть знакомым с уравнением Пелля). См. "On Diophantine equations of the form $(x^n -1)(y^m -1)=z^2$" (P. G. Walsh)

Цитата:

Век живи - век учись.

[juna]

Класс! Огромное спасибо!
Здесь даже общее уравнение рассматривают, тоже ссылаясь на abc-гипотезу. Теперь, по-видимому, можно переместить в олимпиадный раздел.

[Руст]

Действительно элементарное решение. Меня смутило замечание harazy.

[RIP]

Руст писал(а):

Действительно элементарное решение. Меня смутило замечание harazy.

Видимо, harazy видел это уравнение в другой статье.

На этот сайт я вышел случайно, я искал другую статью.

Kalman Gyory писал(а):

The equation in question has no solution in positive integers m and n. This was proved by L.Szalay ...( see "On the diophantine equation (2^n-1)(3^n-1)=x^2", Publ.Math.Debrecen 57 (2000),1-9 ).

[maxal]

RIP в сообщении #55141 писал(а):

См. "On Diophantine equations of the form $(x^n -1)(y^m -1)=z^2$" (P. G. Walsh)

Прикреплю-ка я эту статью здесь, а то ссылки протухают.

Вложение:

Комментарий к файлу: P. G. Walsh "On Diophantine equations of the form (x^n -1)(y^m -1)=z^2"
Walsh2000.pdf [119.19 Кб]
Скачиваний: 255