Параметризация рациональных треугольников

[scwec]

Рациональным треугольником будем называть треугольник с рациональными длинами сторон и площадью.
Пусть известно, что длины сторон $a,b,c$ любого рационального треугольника можно записать в следующем виде:(это на самом деле так и есть)
$a=t\cdot{f(r)}$,
$b=t\cdot{f(s)}$,
$c=t\cdot(|\varphi(r)|+|\varphi(s)|)$,
где $t,r,s$- рациональные числа, а функции $f,\varphi$: $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$
Найдите функции $f$ и $\varphi$.

[scwec]

Ответ выглядит просто.

$$f(x)=x+\frac{1}{x}$$

$$\varphi(x)=x-\frac{1}{x}$$

Таким образом, искомая параметризация длин сторон рациональных треугольников:
$a=t\cdot(r+\frac{1}{r})$
$b=t\cdot(s+\frac{1}{s})$
$c=t\cdot(|r-\frac{1}{r}|+|s-\frac{1}{s}|)$.
Доказательство элементарное и желающие могут провести его сами.
Вот еще что. Используя указанную параметризацию можно доказать также, что любое натуральное $N$ представимо в виде $N=t^2\cdot(r-\frac{1}{r}+s-\frac{1}{s})$, где $r>1,s>1,t$ - рациональные числа.(Это сложнее).

[scwec]

Известно, что для прямоугольных рациональных треугольников неизвестны формулы, выражающие стороны только через площадь треугольника. И это несмотря на использование мощных средств, хитроумных приемов, недоказанной гипотезы БСД.
Однако, если выкинуть слово прямоугольных, то такие формулы, оказывается, можно найти.
Предлагаю найти три функции $a(S),b(S),c(S)$, такие, что $a=a(S), b=b(S),c=c(S)$ - стороны рационального треугольника и натуральное $S$ - его площадь.
В принципе, для этого можно решить уравнение $16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ в рациональных числах при заданном натуральном $S$.
Или найти рациональную точку с $y\ne{0}$ на эллиптической кривой $y^2=x(x+\lambda{S})(x-\frac{S}{\lambda})$ с заданным натуральным $S$ и рациональным $\lambda=\lambda(S)>0$.
Или, исходя из параметризации предыдущего сообщения, решить в рациональных $r>1,s>1,t$ уравнение $S=t^2(r-\frac{1}{r}+s-\frac{1}{s})$ при заданном натуральном $S$. Решить - здесь означает найти хотя бы одно решение.
В качестве подсказки сообщаю, что одна из сторон треугольника равна $\frac{2S+1}{2}$. (В одном из решений, конечно, - ведь их бесконечно много).

[scwec]

Напишем, как из рациональной точки эллиптической кривой $y^2=(x+\lambda{S})(x-\frac{S}{\lambda})\qquad(1)$ получается рациональный треугольник.
Пусть $a,b,c,S$ - длины сторон треугольника и его площадь, $x_0,y_0$ - рациональная точка кривой $(1)$.
Длины сторон рационального треугольника записываются так: $a=|\frac{Sx_0(\lambda^2+1)}{y_0\lambda}|$, $b=|\frac{(x_0+S{\lambda})(x_0-\frac{S}\lambda)}{y_0}|$, $c=|\frac{x_0^2+S^2}{{y_0}}|$

Теперь, что касается конкретно решения: положим $\lambda=\frac{2S-1}{2}$ - и это центральный момент решения.
При таком $\lambda$ рациональная точка кривой $(1)$(после замены $S$ на $4S$) есть $(1-2S,4S^2-1)$ (левый овал кривой).
Длины сторон находятся по выше приведенным формулам с последующим их делением на $2$.
$a=|\frac{S(4S^2-4S+5)}{4S^2-1}|$
$b=\frac{2S+1}{2}$
$c=|\frac{20S^2-4S+1}{2(4S^2-1)}|$
В итоге, задавая натуральную площадь, мы тут же находим длины сторон рационального треугольника.
Научиться делать то же для прямоугольного треугольника - задача пока не решенная.

[scwec]

И, наконец, напишем формулы для длин сторон рациональных треугольников с натуральной площадью $S$ в зависимости от рационального параметра $k$. Будем искать рациональный треугольник с площадью $k^2{S}, k^2>2$.
Эллиптическая кривая $C_{{S}{k^2},\lambda}$ в этом случае выглядит так: $y^2=x(x-\frac{{S}{k^2}}{\lambda})(x+{S}{k^2}\lambda)$. Положим $\lambda=\frac{{S}{k^2}-2}{4}$. Рациональная точка на кривой $C_{{S}{k^2},\frac{{S}{k^2}-2}{4}}$: $(x_0,y_0)=(\frac{2-{S}{k^2}}{2},\frac{{S^2}{k^4}-4}{4})$.
Получаемый по приведенным формулам в предыдущем сообщении рациональный треугольник имеет площадь $S{k^2}$, поэтому полученные длины надо поделить на $k$.
В итоге получаем бесконечное множество рациональных треугольников с заданной натуральной площадью $S$ и длинами сторон
$a=|\frac{kS(k^4{S^2}-4k^2{S}+20)}{2(k^4{S^2}-4)}|$, $b=\frac{k^2{S}+2}{2k}$, $c=|\frac{5k^4{S^2}-4k^2{S}+4}{k(k^4{S^2}-4)}|$. ($k^2>2$ необходимо для того, чтобы $\lambda>0$ при $S=1$).
Таким образом, получили параметризацию, рассматривая бесконечное семейство эллиптических кривых. А можно было бы оставаться в пределах одной кривой $C_{S,\frac{S-2}{4}}$. Но тогда нужно было бы проводить секущие и касательные через рациональные точки этой кривой.