Непрерывная и разрывная функции

[Ktina]

а) Существует ли непрерывная функция $f(x)$ такая, что $\forall x$
$f(f(x))=|x|-2x$?

б) Существует ли такая разрывная функция?

* || - это знак модуля, а не целая часть

[griboedovaa]

Пусть x>=0
$f(f(x))=-x, f(f(f(x)))=-f(x), f(-x)=-f(x)$
$f(f(-x))=3x,f(f(-f(x)))=-f(f(f(x)))=-f(-x)=f(x)=3f(x),f(x)=0$

[hippie]

Непрерывной функции не существует. Иначе (вследствие инъективности) эта функция была бы монотонной. Но тогда $f(f(x))$ возрастала бы.

Разрывная функция существует.
Каждое $x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ единственным образом представляется в виде $x=3^nx_0,$ где $n\in\mathbb{Z},$ а $x_0$ принадлежит одному из четырёх полуинтервалов: $[1;\ \sqrt 3);\ \ [\sqrt 3;\ 3);\ \ (-\sqrt 3;\ 1];\ \ (-3;\ -\sqrt 3].$

$f(0)=0;$
$f(x)=-\sqrt 3x,$ при $x_0\in [1;\ \sqrt 3);$
$f(x)=\frac x{\sqrt 3},$ при $x_0\in [\sqrt 3;\ 3);$
$f(x)=-3\sqrt 3x,$ при $x_0\in (-\sqrt 3;\ 1];$
$f(x)=\frac x{\sqrt 3},$ при $x_0\in (-3;\ -\sqrt 3].$